1、第二节平面向量的数量积授课提示：对应学生用书第78页基础梳理1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫作向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫作向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积3.数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos (2)co
2、s .(3)ab|a|b|4数量积的运算律(1)交换律：abba.(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)(3)分配律：a(bc)abac5平面向量数量积的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则数量积abx1x2y1y2模|a|_夹角cos 向量垂直的充要条件abab0x1x2y1y201向量的夹角问题(1)“向量a与b的夹角为钝角”等价于“ab0且a，b不共线”(2)“向量a与b的夹角为锐角”等价于“ab0且a，b不共线”(3)向量的夹角首先使两个向量共起点，在ABC中，B，而不是角B.2两种投影a在b上的投影为.b在a上的投影为.3几个结论，对于向量a，
3、b(1)(ab)2a22abb2.(2)(ab)(ab)a2b2.(3)a，b同向时，ab|a|b|，a，b反向时，ab|a|b|.(4)O是ABC的垂心.(5)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则.四基自测1(基础点：向量夹角)设a(，1)，b，则向量a，b的夹角为()A30B60C120 D150答案：B2(基础点：数量积坐标运算)已知(2，3)，(3，3)，则()A3 B2C2 D3答案：C3(易错点：向量的投影)已知a(2，3)，b(4，7)，则a在b方向上的投影为()A. BC. D答案：C4(基础点：求模)已知a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|ab|_答案
4、：授课提示：对应学生用书第79页考点一平面向量数量积的运算挖掘1定义法、坐标法求数量积/ 自主练透例1(1)已知(2，3)，(3，t)，|1，则()A3B2C2 D3解析(3，t)(2，3)(1，t3)，|1，1，t3，(1，0)，21302.故选C.答案C(2)(2018高考全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3C2 D0解析a(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.故选B.答案B(3)(2018高考天津卷)如图所示，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为()A
5、. BC. D3解析如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系连接AC，由题意知CADCAB60，ACDACB30，则D(0，0)，A(1，0)，B(，)，C(0，)，设E(0，y)(0y)，则(1，y)，y2y，当y时，有最小值.故选A.答案A破题技法1.定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即ab|a|b|cos (是a与b的夹角)2坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解挖掘2用基底计算数量积/ 互动探究例2(1)在如图所示的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A15B9C6 D0解析如图，连接MN.2，2，MN
6、BC，且，33()，3(2)3(21cos 12012)6.故选C.答案C(2)(2019高考天津卷)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_解析法一：BAD30，ADBC，ABE30，又EAEB，EAB30，在EAB中，AB2，EAEB2.以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系则A(0，0)，D(5，0)，E(1，)，B(3，)，(2，)，(1，)，(2，)(1，)1.法二：同法一，求出EBEA2，以，为一组基底，则，()()225212251.答案1破题技法基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，
7、最终转化为基向量的数量积，进而求解考点二向量的模、夹角、垂直问题挖掘1向量的夹角/ 互动探究例1(1)(2019高考全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. BC. D解析由(ab)b，可得(ab)b0，abb2.|a|2|b|，cosa，b.0a，b，a与b的夹角为.故选B.答案B(2)(2019高考全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_.解析由题意，得cosa，c.答案(3)(2020石家庄模拟)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A. BC. D解析设|b|1，则|ab|ab|
8、2.由|ab|ab|，得ab0，故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|，设向量ab与a的夹角为，则cos ，0，故选D.答案D破题技法求向量夹角的方法方法解读适合题型定义法cosa，b适用于向量的代数运算数形结合法转化为求三角形的内角适用于向量的几何运算拓展设a，b，当为锐角时，cos 0，即ab0，当为钝角时，cos 0，即ab0，反之不成立，要注意ab的情况已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n与tmn夹角为钝角，则实数t的取值范围是()At4 Bt4且t0Ct4 Dt4且t0解析：n与tmn夹角为钝角等价于n(tmn)0且n与tmn不共线，所以tmnn20且t0
9、，即tn2n20，且t0，解得t4且t0.答案：B挖掘2向量模的计算/互动探究例2(1)在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若(1，2)，(2，t)，则|()A. B5C2 D20解析由题意知，122t0，t1，|.答案A(2)(2020湖北武汉模拟)已知向量a，b满足|a|4，b在a方向上的投影为2，则|a3b|的最小值为()A12 B10C. D2解析设a与b的夹角为.由于b在a方向上的投影为2，所以|b|cos 2，所以ab8，又|b|cos 2，所以|b|2，则|a3b|10，即|a3b|的最小值为10，故选B.答案B(3)如图，在ABC中，BAC，2，P为CD上一点，且满足m
10、，若ABC的面积为2，则|的最小值为()A. BC3 D解析2，m，m，C，P，D三点共线，m1，即m，2222|cos |，SABC|sin2，|8，283，|，故选B.答案B破题技法求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解挖掘3向量的垂直问题/ 互动探究例3(1)已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. BC. D解析设c(m，n)，则ac(1m，2n)，ab(3，1)，
11、因为(ca)b，则有3(1m)2(2n)；又c(ab)，则有3mn0，解得m，n.所以c.答案D(2)(2019高考北京卷)已知向量a(4，3)，b(6，m)，且ab，则m_解析ab，ab(4，3)(6，m)243m0，m8.答案8破题技法1.当已知两个向量的夹角为90时，即ab时，则ab0.反之也成立，(a0且b0)2如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y20.如图所示，|5，|，0，且2，3，连接BE，CD交于点F，则|_解析：由三点共线可知，(1)2(1)(R)，同理，(1)3(1)(R)，则，得解得故.| .答案：考点三数量积运算的最值或取值范围例已知ABC是边长为
12、2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2BC D1解析法一：几何法第一步：画出图形，利用向量的平行四边形法则化简.如图，2(D为BC中点)，则()2，第二步：确定P点的大致位置使最小要使最小，需，方向相反，即P点在线段AD上，所以(2)min2|，即求|最大值第三步：利用基本不等式求最值又|2，则|，所以(2)min2.故选B.法二：坐标法第一步：建立平面直角坐标系以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A(0，)，B(1，0)，C(1，0)第二步：设出P点的坐标(x，y)，将向量，表示出来设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，第三步：用x，y表
13、示()，转化为函数关系式求最值()2x22y2y22，其最小值为2，此时x0，y.故选B.答案B破题技法求解平面向量数量积最值或取值范围问题的2个策略(1)图形化策略所谓图形化策略，是指解决向量问题时，利用图形语言翻译已知条件和所求结论，借助图形思考解决问题图形化策略体现了数形结合思想，同时，化归与转化思想和函数与方程思想也深蕴其中利用图形化的策略方法，各种数量关系在图形中非常明了，能起到事半功倍的作用如果没有图形的帮助，要用代数化策略，这样即使是坐标化处理，也可能陷入“僵局”(2)代数化策略所谓代数化策略，是指解决向量问题时，利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决所面临的问题代数化策略体现了化归与转化思想和函数与方程思想通过平面向量基本定理演变而来的代数运算和坐标化的代数运算，是解决向量问题的一般方法平行四边形ABCD中，AB4，AD2，4，点P在边CD上，则的取值范围是()A1，8 B1，)C0，8 D1，0解析：由题意得|cosBAD4，解得BAD.以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(4，0)，C(5，)，D(1，)，因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为(a，)(1a5)，则(a，)(4a，)a24a3(a2)21，则当a2时，取得最小值1，当a5时，取得最大值8，故选A.答案：A
