1、计算题专练(四)共 2 小题，共 32 分。要求写出必要的文字说明和方程式，只写最后结果不给分。1(2019四川南充三诊)(12 分)“嫦娥四号”飞船在月球背面着陆过程如下：在反推火箭作用下，飞船在距月面 100 米处悬停，通过对障碍物和坡度进行识别，选定相对平坦的区域后，开始以 a2 m/s2 垂直下降。当四条“缓冲脚”触地时，反推火箭立即停止工作，随后飞船经 2 s 减速到 0，停止在月球表面上。飞船质量 m1000 kg，每条“缓冲脚”与地面的夹角为 60，月球表面的重力加速度 g3.6 m/s2，四条“缓冲脚”的质量不计。求：(1)飞船垂直下降过程中，火箭推力对飞船做了多少功；(2)从
2、“缓冲脚”触地到飞船速度减为 0 的过程中，每条“缓冲脚”对飞船的冲量大小。答案(1)1.6105 J(2)13600 33 Ns解析(1)飞船加速下降时，由牛顿第二定律，有：mgFma推力对火箭做功为：WFh解得：W1.6105 J。(2)设“缓冲脚”触地时飞船的速度为 v，飞船垂直下降的过程中，有：v22ah从“缓冲脚”触地到飞船速度减为 0 的过程中，设每条“缓冲脚”对飞船的冲量大小为 I，根据动量定理，有：4Isin60mgt0(mv)解得：I13600 33 Ns。2(2019广东深圳二模)(20 分)如图 a 所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位
3、置，以相同速率同时喷出质量均为 m 的油滴 a 和 b，带电量为q 的 a 水平向右，不带电的 b 竖直向上。b上升高度为 h 时，到达最高点，此时 a 恰好与它相碰，瞬间结合成油滴 P。忽略空气阻力，重力加速度为 g。求：(1)油滴 b 竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离；(2)匀强电场的场强及油滴 a、b 结合为 P 后瞬间的速度；(3)若油滴 P 形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为 t0 时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面的周期性变化的匀强磁场，磁场变化规律如图 b 所示，磁场变化周期为 T0(垂直纸面向外为正)，已知 P 始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积。(忽略磁场突
4、变的影响)答案(1)2hg 2h(2)2mgq gh，方向斜向右上方，与水平方向夹角为 45(3)ghT2022解析(1)设油滴的喷出速率为 v0，油滴 b 做竖直上抛运动，有：0v202gh，解得：v0 2gh0v0gt0，解得：t02hg油滴 a 在水平方向做匀速直线运动，对油滴 a 的水平分运动，有：x0v0t0，解得：x02h。(2)两油滴结合之前，油滴 a 做类平抛运动，设加速度为 a，则：qEmgmah12at20解得：ag，E2mgq油滴的喷出速率为 v0，设结合前瞬间油滴 a 的速度大小为 va，方向斜向右上方，与水平方向的夹角为，则：v0vacos，v0tanat0解得：va2 gh，45两油滴的结合过程动量守恒：mva2mvP联立解得 vP gh，方向斜向右上方，与水平方向夹角为 45。(3)因为 qE2mg，所以油滴 P 在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，周期为 T。由洛伦兹力提供向心力，有：qvP8mqT0 2mv2Pr解得：rT0 gh4由 T2rvP，解得 T12T0即油滴 P 在磁场中的运动轨迹是两个外切圆组成的“8”字形，最小矩形的两条边分别为 2r 和 4r，轨迹如图，最小面积为：Smin2r4rghT2022。本课结束
