1、导数的应用举例 1 解:(1)由已知 f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于 f(x)在-1,2 上的最大值小于 m.单调递增区间是(-,-)和(1,+).23设 f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求函数 f(x)的单调递增、递减区间;(2)当 x-1,2 时,f(x)m 恒成立,求实数 m 的取值范围.12令 f(x)0 得-x0 得 x1.23y=f(x)的单调递减区间是(-,1);2323令 f(x)=0 得 x=-或 1.12f(1)=3 ,f(2)=7,f(-1)=5 ,12 f(-)=5 ,232722f(x)在-1,2 上的最大值为 7.7m.故实数 m 的取值范围是(7
2、,+).导数的应用举例 2 解:(1)函数 f(x)的定义域为(-1,+).当 a0,f(x)在(-1,+)上为增函数;设 f(x)=x+1-aln(x+1),aR,且 a0,取e=2.7.(1)求 f(x)的单调区间;(2)比较x+1 与 ln(x+1)的大小,并加以证明.2(x+1)x+1-2a=.又 f(x)=-2 x+11x+1a当 a0 时,令 f(x)0 得-1x0 得 x4a2-1.当 a0 时,f(x)在(-1,4a2-1)上为减函数,在(4a2-1,+)上为增函数.综上所述,当 a0 时,f(x)的单调递减区间为(-1,4a2-1),单调递增区间为(4a2-1,+).导数的应
3、用举例 2 由(1)知 g(x)在(-1,3)上为减函数,设 f(x)=x+1-aln(x+1),aR,且 a0,取e=2.7.(1)求 f(x)的单调区间;(2)比较x+1 与 ln(x+1)的大小,并加以证明.解:(2)x+1 ln(x+1),证明如下:=2-ln40.g(x)g(3)0.即x+1 ln(x+1).设 g(x)=x+1-ln(x+1),又 g(3)=3+1-ln(3+1)在(3,+)上为增函数,导数的应用举例 3 设函数 f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数 f(x)的单调区间、极值;(2)若当 xa+1,a+2 时,恒有|f(x)|a,试确定 a
4、的取值范围.13解:(1)由已知 f(x)=-x2+4ax-3a2,0a1,a3a.令 f(x)=0 得 x=a 或 x=3a.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,a)a(a,3a)3a(3a,+)f(x)-0+0-f(x)极小值极大值由上表可知,f(x)的单调递增区间是(a,3a),单调递减区间是(-,a)和(3a,+).当 x=a 时,f(x)取极小值 f(a)=-a3+b;43当 x=3a 时,f(x)取极大值 f(3a)=b.导数的应用举例 3 设函数 f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数 f(x)的单调区间、极值;(2)若当 xa+1
5、,a+2 时,恒有|f(x)|a,试确定 a的取值范围.13解:(2)0a1,2aa+1.f(x)max=f(a+1)=2a-1,f(x)=-x2+4ax-3a2 在 a+1,a+2 上为减函数.f(x)min=f(a+2)=4a-4.当 xa+1,a+2 时,恒有|f(x)|a,即-af(x)a 恒成立.4a-4-a 且 2a-1a.解得a1.45又 0a1,故 a 的取值范围是 ,1).45已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 处取得极值,曲线 y=f(x)过原点和点 P(-1,2).若曲线 f(x)在点 P处的切线与直线 y=2x的夹角为45,且倾角为钝角.(1)求
6、f(x)的解析式;(2)若 f(x)在区间 2m-1,m+1 递增,求 m 的取值范围.导数的应用举例 4 解:(1)曲线 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 过原点,f(0)=0d=0.f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=0 处取得极值,f(0)=0c=0.过点 P(-1,2)的切线斜率为 f(-1)=3a-2b,而曲线 f(x)在点 P的切线与直线 y=2x 的夹角为45,且倾角为钝角,解得 f(-1)=-3.又 f(-1)=2,|=1 且 f(-1)0 x0,f(x)的单调递增区间为(-,-2 和 0,+).函
7、数 f(x)在区间 2m-1,m+1 递增,2m-12m-10.2m-1,m+1(-,-2 或 2m-1,m+1 0,+).解得 m-3 或m2.12即 m 的取值范围是(-,-3 ,2).12导数的应用举例 5 已知函数 f(x)=x3-ax2-3x.(1)若 f(x)在区间 1,+)上是增函数,求实数 a 的取值范围;(2)若 x=-是 f(x)的极值点,求 f(x)在 1,a 上的最大值;(3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有三个交点,若存在,求出实数 b 的取值范围;若不存在,请说明理由.13解:(1)由已知 f(x)=3x
8、2-2ax-3.f(x)在区间 1,+)上是增函数,在 1,+)上恒有 f(x)0,即 3x2-2ax-30在 1,+)上恒成立.则必有1 且 f(1)=-2a0.a3解得 a0.故实数 a 的取值范围是(-,0.由于 f(0)=-30且 3+b0.解得 b-7 且 b-3.故实数 b 的取值范围是(-7,-3)(-3,+).已知函数 f(x)=x2eax,其中 a0,e 为自然对数的底数.(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)求函数 f(x)在区间 0,1 上的最大值.导数的应用举例 6 解:(1)f(x)=x2eax,f(x)=2xeax+x2eaxa=(ax2+2x)eax.a0,对函
9、数 f(x)的单调性可讨论如下:当 a=0 时,由 f(x)0 得 x0 得 x0.f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增;当 a0 时,由 f(x)0 得 x-;2a由 f(x)0 得 0 x-.2a在(-,+)上也单调递减.2af(x)在(0,-)上单调递增,在(-,0)上单调递减,2a已知函数 f(x)=x2eax,其中 a0,e 为自然对数的底数.(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)求函数 f(x)在区间 0,1 上的最大值.导数的应用举例 6 解:(2)由(1)知当 a=0 时,f(x)在区间 0,1 上为增函数;当 a=0 时,f(x)在区间 0,1 上的最大值
10、为 f(1)=1;当-2a0 时,f(x)在区间 0,1 上为增函数;当 a-2 时,f(x)在区间 0,1 上的最大值为:当 a-2 时,f(x)在区间 0,1 上先增后减,当-2a0 时,f(x)在区间 0,1 上的最大值为 f(1)=ea;且在 x=-时取最大值.2af(-)=.2aa2e2 4导数的应用举例 7 证:(1)x1 时,g(x)0,g(x)在(1,+)上为增函数.又 g(x)在 x=1 处连续,f(x)=lnx2.已知函数 f(x)=lnx.(1)求证:当 1xe2 时,有 xa0 时,恒有 ax .x-a 2-f(x)2+f(x)f(x)-f(a)x+a 22-f(x)2
11、+f(x)要证 x 成立.x+1 2(x-1)记 g(x)=lnx-.x+1 2(x-1)则 g(x)=-(x+1)241x只要证明 x(2-lnx)g(1)=0.lnx 成立.x+1 2(x-1)当 1xe2 时,有 x 成立.2-f(x)2+f(x)导数的应用举例 7 证:(2)由(1)知对任意的 x(1,+),h(x)在(1,+)上为减函数.已知函数 f(x)=lnx.(1)求证:当 1xe2 时,有 xa0 时,恒有 ax 成立.x+1 2(x-1)当 xa0 时,1,axln .axax+12(-1)ax lnx-lna .x+a 2(x-a)lnx-lna x-a ,x+a 2记
12、h(x)=lnx-,xx-1 则 h(x)=x x-(x-1)2120,x-a f(x)-f(a)即 .x+a 2h(x)h(1)=0.对任意的 x(1,+),都有 lnx .xx-1 x-a f(x)-f(a)同理可证 ax .x+a 2 ax .x-a f(x)-f(a)导数的应用举例 8 已知函数 f(x)=(-1)2+(-1)2 的定义域为 m,n),且 1mn 2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明:对任意 x1,x2m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立.xmnx(1)解:f(x)=(-1)2+(-1)2xmnx=+-+2,m2 x2x2n22xm2nx
13、f(x)=-+m2 2xx32n22m2nx2m2x3 2=(x4-m2n2-mx3+m2nx)m2x3 2=(x2-mx+mn)(x+mn)(x-mn)1mx0,m2x3 2x2-mx+mn=x(x-m)+mn0,x+mn 0.由 f(x)0 得 mx0 得mn xn.f(x)在 m,mn)上是减函数,在 mn,n)上是增函数.导数的应用举例 8 已知函数 f(x)=(-1)2+(-1)2 的定义域为 m,n),且 1mn 2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明:对任意 x1,x2m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立.xmnx另解:由题设 f(x)=(+-1)2
14、-+1.xmnx2nm令 t=+,xmnx1m2,t=-.1mx2n由 t0 得 mx0 得mn xn.t(x)在 m,mn)上是减函数,在 mn,n)上是增函数.函数 y=(t-1)2-+1 在 1,+)上是增函数,2nmf(x)在 m,mn)上是减函数,在 mn,n)上是增函数.导数的应用举例 8 已知函数 f(x)=(-1)2+(-1)2 的定义域为 m,n),且 1mn 2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明:对任意 x1,x2m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立.xmnx对任意的 x1,x2m,n),有(2)证:由(1)知 f(x)在 m,n)上的最小值
15、为 f(mn)=2(-1)2,nm最大值为 f(m)=(-1)2.nm|f(x1)-f(x2)|(-1)2-2(-1)2 nmnm=()2-4+4 -1.nmnmnm令 u=,h(u)=u4-4u2+4u-1.nm1mn2,1 2.nm10,5+125-12h(u)在(1,2 上是增函数.=4 2-5.故对任意 x1,x2m,n),|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立.h(u)h(2)=4-8+4 2-1导数的应用举例 9 已知某厂生产 x 件产品的成本为 C=25000+200 x+x2(元),问:(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件 500 元售出,要使利润
16、最大,应生产多少件产品?401解:(1)设平均成本为 y(元),则 y=25000+200 x+x2 x401当且仅当 x=1000 时取等号.(2)利润函数为 L=500 x-(25000+200 x+x2)401=+200 40 xx25000 x2500040 x2 +200=250.故要使平均成本最低,应生产 1000 件产品.401=300 x-x2-2500.L=300-x.201令 L=0 得 x=6000,当 x0;当 x6000 时,L0,当 x=6000 时,L取得最大值.故要使利润最大,应生产 6000 件产品.导数的应用举例 10 某厂生产某种产品,已知该产品的月产量
17、x(吨)与每吨产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p=24200-x2,且生产 x 吨的成本为 R=50000+200 x 元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)15解:设每月生产 x 吨的利润为 y 元,则 x0,且y=(24200-x2)x-(50000+200 x)15=-x3+24000 x-50000.15由 y=-x2+24000=0 得35x=200(-200舍去).在 0,+)上只有一个点 x=200 使 y=0,它就是最大值点,且最大值为-2003+24000200-50000 15=3150000(元).故每月生产 200
18、吨产品时利润最大,最大利润是 315 万元.导数的应用举例 11 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格):(1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2(元),在乙方获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格最大是多少?甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满足函数关系 x=2
19、000 t.解:(1)赔付价格为 s 元/吨,乙方实际年利润 w=2000 t-st.w=2000 t-s(t)2=-s(t-)2+.s1000 s10002当 t=时,w 取得最大值.s210002s210002乙方获得最大利润的年产量为 吨.另解:赔付价格为 s 元/吨,乙方实际年利润 w=2000 t-st.由 w=-s=,t1000t1000-s t 令 w=0 得 t=t0=.s210002当 t0;当 tt0 时,w0,当 t=t0 时,w 取得最大值.s210002乙方获得最大利润的年产量为 吨.(2设甲方净收入为 v 元,则 v=st-0.002t2,将 t=代入上式得:s21
20、0002又 v=-+s210002s5810003v=-.s10002s4210003s510002(8000-s3)=.令 v=0 得 s=20.当 s0;当 s20 时,v0),且C(4,2).22=2p42p=1.曲线段 OC 的方程为 y2=x(0 x4,y0).设 P(x,x)(0 x0;当 x(,4)时,S0,4949当 x=时,S 取到极大值,49=,83此时|PQ|=2+x|PN|=4-x 932=.S=8393227 256 9.5.当 x=0 时,S=89.5,Smax9.5(km2).83932故把工业园区规划成长 km,宽km 的矩形时面积最大,最大面积约为 9.5 km2.
