1、第4讲与函数的零点相关的问题函数零点的个数问题1.函数f(x)=xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为(D)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间0,2上,通过观察y=cos 2x的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,所以零点的个数为5个.2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x0,1时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是(B)(A)5(B)6(C)7(D)8解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点
2、个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象:由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点.所以原函数共有6个零点.故选B.3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程ff(x)=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为.解析:依题意,得a0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由ff(x)=0,得f(x)=1,当x0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a0,结论成立;若a0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a1,得-1a0,则实数a的取值范围为(-1,0)(0,+).答案:(-1,0)(
3、0,+)4.(2015北京卷)设函数f(x)=若a=1,则f(x)的最小值为;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.解析:当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示:由图可知f(x)的最小值为-1.当a0时,显然函数f(x)无零点;当0a1时,易知f(x)在(-,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x1时,f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a1,即a,则a1,由二次函数的性质可知,当x1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-,1)上无零点,则2-a0,即a2.综上可知,满足条件的a的取值范围是,1)2,+).答案:-1,1)2,+)确
4、定函数零点所在的区间5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x0)的根存在的大致区间是(B)(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,e)(D)(3,4)解析:设f(x)=ln(x+1)-,则f(1)=ln 2-20,得f(1)f(2)0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B.6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则(A)(A)g(a)0f(b)(B)0g(a)f(b)(C)f(b)0g(a)(D)f(b)g(a)0解析:考查函数y=ex与y=4-2x的图象,得其交点的横
5、坐标a应满足0a1;考查函数y=ln x与y=5-2x2的图象,得其交点的横坐标b应满足1be+2-40,可排除C,D;0a1,g(a)ln 1+2-50)上的最小值;(3)若存在两不等实根x1,x2,e,使方程g(x)=2exf(x)成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=5时g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.g(x)=(-x2+3x+2)ex,故切线的斜率为g(1)=4e.所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)f(x)=ln x+1,x(0,)(,+)f(x)-0+f(x)单调递减极小值(最小值)单调递增当t时,在区间(t,t+2)上f(x)为增
6、函数,所以f(x)min=f(t)=tln t,当0t时,在区间(t,)上f(x)为减函数,在区间(,t+2)上f(x)为增函数,所以f(x)min=f()=-.(3)由g(x)=2exf(x),可得2xln x=-x2+ax-3,a=x+2ln x+,令h(x)=x+2ln x+,h(x)=1+-=.x(,1)1(1,e)h(x)-0+h(x)单调递减极小值(最小值)单调递增h（）=+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2.h(e)-h（）=4-2e+0,于是(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,2)时,(x)0,于是(x)在(1,2)上单调递减;依题意有解得ln 3-1b1,0b=l
7、og320f(-1)=log32-1-log32=-10,所以根据函数的零点存在性定理得出函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是(-1,0),故选B.2.(2015凉山州模拟)设函数f(x)=|ln x|-的两个零点为x1,x2,则有(A)(A)x1x21 (B)x1x2=1(C)1x1x2(D)x1x2解析:由f(x)=|ln x|-=0,得|ln x|=,作函数y=|ln x|与y=的图象如图.不妨设x1x2,由图可知,x11x2,则ln x1|ln x2|,所以-ln x1ln x2,则ln x1+ln x20,即ln (x1x2)0,所以x1x20或-2x+a2x,或a1或a0.
8、故选D.4.(2014重庆卷)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(A)(A)(-,-2(0,(B)（-,-2(0,(C)(-,-2(0,(D)(-,-2(0,解析:g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(x)的图象与函数y=m(x+1)的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数f(x)=和函数y=m(x+1)的图象,如图,当直线y=m(x+1)与y=-3,x(-1,0和y=x,x(0,1都相交时,0m;当直线y=m(x+1)与y=-3,x(-1,0有两个交点时,由方程组消元得-3=
9、m(x+1),即m(x+1)2+3(x+1)-1=0,化简得mx2+(2m+3)x+m+2=0,当=9+4m=0,即m=-时,直线y=m(x+1)与y=-3相切,当直线y=m(x+1)过点(0,-2)时,m=-2,所以m(-,-2.综上,实数m的取值范围是(-,-2)(0,故选A.5.(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(D)(A)1,3 (B)-3,-1,1,3(C)2-,1,3(D)-2-,1,3解析:当x0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2-3x=x-3,解得x=1或3;当
10、x0时,由f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即f(x)=-x2-3x.由f(x)=x-3得x=-2-(正根舍去).故选D.6.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点,若x1(1,x0),x2(x0,+),则(B)(A)f(x1)0,f(x2)0(B)f(x1)0(C)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析:函数y=2x,y=在(1,+)都为单调增函数,所以f(x)=2x+在(1,+)上为单调增函数.因为f(x0)=0,所以x1(1,x0),x2(x0,+)时,f(x1)f(x0)=0,从而答案B正确.7.已知函数f(x)=则下列关于函数y=ff(kx)+1+1
11、(k0)的零点个数的判断正确的是(C)(A)当k0时,有3个零点;当k0时,有4个零点;当k0时,有3个零点(C)无论k为何值,均有3个零点(D)无论k为何值,均有4个零点解析:令ff(kx)+1+1=0得,或解得f(kx)+1=0或f(kx)+1=;由f(kx)+1=0得,或即x=0或kx=;由f(kx)+1=得,或即ekx=1+(无解)或kx=;综上所述,x=0或kx=或kx=;故无论k为何值,均有3个解.故选C.8.(2015怀化二模)定义域为R的函数f(x)=若关于x的函数h(x)=f2(x)+af(x)+有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5,则+等于(C)(A)15(B)20
12、(C)30(D)35解析:作函数f(x)=的图象如图,则由函数h(x)=f2(x)+af(x)+有5个不同的零点知,1+a+=0,解得a=-,则解f2(x)-f(x)+=0得,f(x)=1或f(x)=;故若f(x)=1,则x=2或x=3或x=1;若f(x)=,则x=0或x=4;故+=1+4+9+16=30.故选C.9.(2015郑州二模)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(A)(A)-1,3)(B)-3,-1(C)-3,3)(D)-1,1)解析:因为f(x)=所以g(x)=f(x)-2x=而方程-x+3=0的解为3,方程x2+4x+3=0的解
13、为-1,-3;若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则解得,-1a3.实数a的取值范围是-1,3).故选A.10.(2015衡阳二模)已知(x2-)5的展开式中的常数项为T,f(x)是以T为周期的偶函数,且当x0,1时,f(x)=x,若在区间-1,3内,函数g(x)=f(x)-kx-2k有4个零点,则实数k的取值范围是(C)(A)(0,(B)0,(C)(0,(D)0,解析:(x2-)5的通项Tr+1=(x2)5-r(-x-3)r=(-1)rx10-5r;令10-5r=0得,r=2;则常数项为=2,f(x)是以2为周期的偶函数,因为区间-1,3是两个周期,所以在区间-1,3内函数g(
14、x)=f(x)-kx-2k有4个零点,可转化为f(x)与r(x)=kx+2k有四个交点,当k=0时,两函数图象只有两个交点,不合题意;当k0时,因为函数r(x)的图象恒过点(-2,0),则若使两函数图象有四个交点,必有0r(3)1;解得,0k.故选C.11.(2013安徽卷)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数是(A)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:先求函数的导函数,由极值点的性质及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.因为f(x)=3x
15、2+2ax+b,函数f(x)的两个极值点为x1,x2,所以f(x1)=0,f(x2)=0,所以x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根.所以解关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0得f(x)=x1或f(x)=x2.不妨设x1x2,由题意知函数f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1x2,如图,数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.故选A.二、填空题12.(2015兰州二模)设函数f(x)=函数y=ff(x)-1的零点个数为.解析:因为函数f(x)=当x0时,y=ff(x)-
16、1=f(2x)-1=log22x-1=x-1,令y=ff(x)-1=0,x=1(舍去).当01时,y=ff(x)-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1,令y=ff(x)-1=0,log2(log2x)=1,则log2x=2,x=4,故函数y=ff(x)-1的零点个数为2个.答案:213.(2011山东卷)已知函数f(x)=1ogax+x-b(a0,且a1).当2a3b4时,函数f(x)的零点x0(n,n+1),nN*,则n=.解析:对函数f(x),因为2a3b4,所以f(2)=loga2+2-b1+2-b=3-b1+3-b=4-b0.即f(2)f(3)0,易知f(x)在(0,+
17、)单调递增,所以f(x)存在唯一的零点x0,且x0(2,3),所以n=2.答案:214.(2015潍坊模拟)已知f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,f(x)是f(x)的导函数,若对x(0,+),都有ff(x)-2x=3,则方程f(x)-=0的解所在的区间是.(区间长度不大于1)解析:由题意,可知f(x)-2x是定值,令t=f(x)-2x,则f(x)=2x+t,又f(t)=2t+t=3,解得t=1,所以有f(x)=2x+1,所以f(x)=2xln 2,令F(x)=f(x)-=2xln 2-,可得F(1)=21ln 2-40,即F(x)=2xln 2-零点在区间(1,2)内,所以f(x)-=0
18、的解所在的区间是(1,2).答案:(1,2)利用导数研究方程根的问题训练提示:利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路(1)将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题.(2)利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象.(3)结合图象求解.1.(2015贵州七校联盟第一次联考)已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,aR.(1)当a0时,解不等式f(x)0;(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在t,t+1上有解.解:(1)因为ex0,所以不
19、等式f(x)0,即为ax2+x0,又因为a0,所以不等式可化为x(x+)0,所以不等式f(x)0的解集为-,0.(2)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于ex-1=0,令h(x)=ex-1,因为h(x)=ex+0对于x0恒成立,所以h(x)在(-,0)和(0,+)内是单调增函数,又h(1)=e-30,h(-3)=e-3-0,所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间1,2和-3,-2上,所以整数t的所有值为-3,1.【教师备用】 (2015广东江门市3月模拟)设函数f(x)=ex(ln x-a),e是自然对数的底数,aR为常数.
20、(1)若y=f(x)在x=1处的切线l的斜率为2e,求a的值;(2)在(1)的条件下,证明切线l与曲线y=f(x)在区间(0,)至少有1个公共点.解:(1)f(x)=ex (ln x-a+),依题意,k=f(1)=e(ln 1-a+1)=2e,解得a=-1,(2)由(1)f(1)=e,直线l的方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e,令g(x)=f(x)-(2ex-e)=ex(ln x+1)-2ex+e,则g()=(1-ln 2)0,g(e-4)=-3ee-4-2e-3+e-3+e0(用其他适当的数替代e-4亦可)因为y=g(x)在(e-4,)上是连续不断的曲线,g(e-4)g()0,y
21、=g(x)在（e-4,）内有零点,而（e-4,）（0,）,从而切线l与曲线y=f(x)在区间（0,）至少有1个公共点.2.(2015福建龙岩市5月质检)已知函数f(x)=ex(sin x+cos x)+a,g(x)=(a2-a+10)ex(aR且a为常数).(1)若曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线过点(1,2).求实数a的值;(2)若存在实数x1,x20,使得g(x2)1)在(0,+)上的零点个数,并说明理由.解:(1)f(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x,又曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线过点(1,2),得f(0)=,即2
22、=1-a,解得a=-1.(2)存在实数x1,x20,使得g(x2)f(x1)+13-成立,即g(x)min0恒成立,g(x)=(a2-a+10)ex在0,上递增,g(x)min=g(0)=a2-a+10,故a2-a+10+a+13-,得a2-2a-30)得-+1+ln x=0,化为=1-x-xln x,令h(x)=1-x-xln x,则h(x)=-2-ln x,由h(x)=-2-ln x=0,得x=e-2,故h(x)在（0,）上递增,在（,+）上递减,h(x)max=h（）=1+.再令t(x)=b（1+）ex,因为b1,所以函数t(x)=b（1+）ex在(0,+)上递增,t(x)t(0)=b（
23、1+）e0=b（1+）1+.知t(x)h(x)max,由此判断函数(x)在(0,+)上没有零点,故(x)在(0,+)上零点个数为0.【教师备用】 (2015四川成都市一诊)已知函数f(x)=-,g(x)=m-,其中mR且m0.e=2.71828为自然对数的底数.(1)当m0时,若函数g(x)存在a,b,c三个零点,且abc,试证明:-1a0beg(x2)成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)f(x)=-m=m=(x0且x1).所以由f(x)0,得x;由f(x)0,得0x0).所以g(x)在(-,0)上单调递增,（0,）上单调递减,（,+）上单调递增.因为函数g(x)存
24、在三个零点,所以0m.所以0me2.由g(-1)=m-mem=m(1-em)0,所以g(e)=m-=m（1-）0.综上可知,g(e)0,g(-1)0,结合函数g(x)单调性及abc可得a(-1,0),b(0,e),c(e,+).即-1a0beg(x)max,因为f(x)=由m0,所以函数f(x)在（1,）上单调递减,在（,+）上单调递增.所以f(x)min=f（）=-2me.因为g(x)=由mm-,不等式两边同乘以负数m,得-2m2e,即m2.由m0,解得me2.(1)解:因为f(x)=ln x-cx, 所以x(0,+),f(x)=-c=.当c0时,f(x)单调增区间为(0,+),当c0时,f
25、(x)单调增区间为（0,）,f(x)单调减区间为（,+）.(2)解:因为f(x)x2,所以ln x-cxx2,所以c-x.设g(x)=-x,所以g(x)=,所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减.所以g(x)max=g(1)=-1,所以c-1.(3)证明:因为f(x)有两个相异零点,ln x1=cx1,ln x2=cx2, 所以ln x1-ln x2=c(x1-x2),所以=c, 而x1x2e2,等价于ln x1+ln x22,即cx1+cx22, 由得(x1+x2)2,不妨设x1x20,则t=1,上式转化为ln t(t1),设H(t)=ln t-(t1),则H(t)=0,故函
26、数H(t)是(1,+)上的增函数,所以H(t)H(1)=0,即不等式ln t成立,故所证不等式x1x2e2成立.2.(2015郑州质量预测)已知函数f(x)=(x2-2x)ln x+ax2+2.(1)当a=-1时,求f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当a0时,设函数g(x)=f(x)-x-2,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e-2xe,g(x)m,求m的取值范围.解:(1)当a=-1时,f(x)=(x2-2x)ln x-x2+2,定义域为(0,+),f(x)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x.所以f(1)=-3,又f(1)=1,f(x)在(1,f(1)处的切线方程为3x+y
27、-4=0.(2)令g(x)=f(x)-x-2=0,则(x2-2x)ln x+ax2+2=x+2,即a=,令h(x)=,则h(x)=-+=.令t(x)=1-x-2ln x,t(x)=-1-=,因为t(x)0,所以t(x)在(0,+)上是减函数,又因为t(1)=h(1)=0,所以当0x0,当x1时,h(x)0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.当a=1,g(x)=(x2-2x)ln x+x2-x,若e-2xe,g(x)m,只需g(x)maxm,g(x)=(x-1)(3+2ln x),令g(x)=0得x=1或x=,又因为e-2xe,所以函数g(x)在(e-2,)上单调递增,在（,1）上单
28、调递减,在(1,e)上单调递增,又g()=-e-3+2,g(e)=2e2-3e,因为g()=-e-3+22e2e（e-）=g(e),即g（）0,所以g(x)有两个零点x1,x2,即3-2axi-1=0(i=1,2),且x1x20,a=,不妨设x100且g(x2)0,或g(x1)0且g(x2)0,又g(xi)=-a-xi+1=-xi+1=-+1(i=1,2),设h(x)=-x3-+1,所以h(x)=-x2-0,所以h(x)为减函数,又h(1)=0,所以x0,x1时h(x)0,所以xi(i=1,2)大于1或小于1,由x100,所以a0,h(x)为增函数,又h(1)=0.所以当x0,g(x)为增函数
29、;当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)为增函数;所以g(x)在x=1时取极小值1.又当x趋向于0时,g(x)趋向于正无穷;又当x趋向于负无穷时,g(x)趋向于负无穷;又当x趋向于正无穷时,g(x)趋向于正无穷.所以g(x)图象大致如图所示.所以方程a=x-+只有一个实根时,实数a的取值范围为(-,1).【教师备用】 设函数f(x)=xln x(x0),g(x)=-x+2.(1)求函数f(x)在点M(e,f(e)处的切线方程;(2)设F(x)=ax2-(a+2)x+f(x)(a0),讨论函数F(x)的单调性;(3)设函数H(x)=f(x)+g(x),是否同时存在实数m和M(m0),则函
30、数f(x)在点M(e,f(e)处的斜率为f(e)=2,f(e)=e,所以,所求切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e.(2)F(x)=ax2-(a+2)x+ln x+1(x0),F(x)=2ax-(a+2)+=(x0,a0)令F(x)=0,则x=或.当0a时,令F(x)0解得0x;令F(x)0解得x2即时,函数F(x)在(0,),(,+)上单调递增,在(,)上单调递减.(3)H(x)=-x+2+xln x,H(x)=ln x.令H(x)=0,则x=1.当x在区间,e内变化时,H(x),H(x)的变化情况如下表:x(,1)1(1,e)eH(x)-0+H(x)2-单调递减极小值1单调递增2因为2-2,所以H(x)在区间,e内值域为1,2,由此可得,若则对每一个tm,M,直线y=t与曲线y=H(x)(x,e)都有公共点,并且对每一个t(-,m)(M,+),直线y=t与曲线y=H(x)(x,e)都没有公共点.综合以上,存在实数m=1和M=2,使得对每一个tm,M,直线y=t与曲线y=H(x)(x,e)都有公共点.
