1、第二节空间几何体的表面积与体积授课提示：对应学生用书第123页基础梳理1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l2.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3与球有关的切、接问题中常见的组合模型：(1)正方体与球：正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示设正方体的棱长为a，则半径r|OJ|.与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，
2、则半径R|GO|a.正方体的外接球：截面图为长方形ACC1A1的外接圆，则半径R|A1O|a.(2)三条侧棱互相垂直(墙角模型)的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重合如图，设AA1a，则Ra.如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心R2(l为长方体的体对角线长)(3)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D
3、，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，COOSR，OEr，SEa，CEa，则有Rra，R2r2|CE|2，解得Ra，ra.四基自测1(基础点：几何体的表面积)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3B4C24 D34答案：D2(基础点：几何体的体积)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A1 B2C3 D6答案：C3(基础点：几何体的体积)中国的计量单位可以追溯到4 000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一六国后，颁布统一度量衡的诏书并
4、制发了成套的权衡和容量标准器如图是古代的一种度量工具“斗”(无盖，不计量厚度)的三视图(其主视图和左视图为等腰梯形)，则此“斗”的容积(单位：cm3)为()A2 000 B2 800C3 000 D6 000答案：B4(易错点：球的切、接问题)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_答案：14授课提示：对应学生用书第124页考点一空间几何体的表面积例(1)(2020合肥质检)一个几何体的三视图如图所示(其中主视图中的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为()A726B724C486 D484 解析由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组
5、合而成(如图所示)，其表面积为162(164)24(22)726，故选A.答案A(2)(2018高考全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x28，得x2，S圆柱表2S底S侧2()22212.故选B.答案B(3)(2018高考全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为5.则该圆锥的侧面积为_解析因为母线SA与圆锥底面所成的角为45，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形设底面圆的半径为r，
6、则母线长lr.在SAB中，cosASB，所以sinASB.因为SAB的面积为5，即SASBsinASBrr5，所以r240，故圆锥的侧面积为rlr240.答案40破题技法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积(球除外)，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积提醒：(1)求组合体的表面积时，要注意各几
7、何体重叠部分的处理(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错考点二空间几何体的体积例(1)(直接法)(2018高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2B4C6 D8解析由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S3，高h2，VSh6.答案C(2)(等积法)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_解析三棱锥D1EDF的体积即为三棱锥FDD1E的体积E，F分别为AA1，B1C上的点，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E
8、DD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，VD1EDFVFDD1E1.答案(3)(分割法)(2020山西五校联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A5 000立方尺 B5 500立方尺C6 000立方尺 D6 500立方尺解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中
9、点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之和又可以将三棱柱ADEGHF割补成高为EF，底面积为S31(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V22315(立方丈)5 000立方尺故选A.答案A(4)(补形法)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42 D36 解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，
10、所以该几何体的体积V32432663.故选B.答案B破题技法1(2020湖南两市调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为()A. BC. D4解析：如图所示，三棱锥PABC即为所求则VPABCSABCh222.故选B.答案：B2由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解析：由题意知该几何体是由一个长方体和两个圆柱体构成，其中长方体的体积V12112，两个圆柱体的体积之和V21212，该几何体的体积VV1V22.答案：23如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面
11、BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为_解析：法一：(分割法)几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CHDG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEHABC和一个斜三棱柱BEFCHG.由题意，知V三棱柱DEHABCSDEHAD22，V三棱柱BEFCHGSBEFDE22.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG224.法二：(补形法)几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即为该正方体体积的一半又正方体的体积V正方体ABHIDEKG238，故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG84.答案：4考点三与
12、球有关的切、接问题挖掘1内切球的问题/ 自主练透例1(1)如图，在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4B.C6 D.解析若球与直三棱柱的三个侧面都相切，球的半径为2，此时球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球不符合题意若与直三棱柱的上、下底面相切，球的半径为.球的半径的最大值是，此时球的体积是R3，故选B.答案B (2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_解析设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，.答案破题技法与球
13、相关的“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决若内切的是多面体，则多取多面体过球心的对角面；若内切的是旋转体，则多取其轴截面挖掘2外接球的问题/ 自主练透例2(1)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A8 B12C20 D24 解析法一：将三棱锥PABC放入长方体中，如图，三棱锥PABC的外接球就是长方体的外接球图因为PAAB2，AC4，A
14、BC为直角三角形，所以BC 2.设外接球的半径为R，由题意可得(2R)22222(2)220，故R25，则球O的表面积为4R220，故选C.法二：利用鳖臑的特点求解，如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2RPC，所以球O的表面积为4R220，故选C.图答案C(2)(2017高考全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_解析如图，连接AO，OB，SC为球O的直径，点O为SC的中点，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，
15、平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AO平面SCB，设球O的半径为R，则OAOBR，SC2R.VSABCVASBCSSBCAOAO，即9R，解得R3，球O的表面积为S4R243236.答案36破题技法与球相关的“接”的处理把一个多面体的顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径如果无需确定球心，可通过补形构造垂直模型，构造或找有三条两两垂直的线段的特殊几何体，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2R，求出R.对称几何体的外接球、三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球等特殊几何体的外接球问题常补成长(正)方体来理解，如正四面体就
16、是正方体内几条面对角线构成的特殊棱锥1(2020泉州质检)如图，在正方形网格纸上，实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于()A8B18C24 D8解析：设球的半径为R.多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合)两顶点之间的距离为2R，底面是边长为R的正方形，则有R232，解得R26，故该球的表面积S4R224.选C.答案：C2(2017高考全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A BC. D.解析：绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得AC1，AB，结合勾股定理，得底面半径rBC，由圆柱的体积
17、公式，可得圆柱的体积是Vr2h1，故选B.答案：B考点四求表面积与体积中的数学文化问题例(1)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示(单位：cm)，则该阳马的外接球的体积为()A100 cm3B. cm3C400 cm3 D. cm3解析由三视图可得，在长、宽、高分别为6 cm，2 cm，6 cm的长方体中，该几何体为如图所示的四棱锥EABCD，设该几何体外接球的半径为R cm，由题意有(2R)2(2)26262，解得R5，则该阳马的外接球的体积为VR3(cm3
18、)答案B (2)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛解析设圆锥底面的半径为R尺，由2R8得R，从而米堆的体积VR25(立方尺)，因此堆放的米约有22(斛)故选B.答案B破题技法求解与数学文化有关的立体几何问题应过的三关：1(2020郑州质量预测)我国南北朝时期数学家、天文学家
19、祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等已知某不规则几何体与如下三视图对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A4 B8C8 D82解析：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为238，半圆柱的体积为(12)2，因此该不规则几何体的体积为8，故选C.答案：C2.九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是()A50B75C25.5D37.5解析：由题意及给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C1MNB1A1所得的几何体，且三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.AM2，B1C1平面MNB1A1，所以截去后剩余的几何体的体积为VV三棱柱V四棱锥55535537.5，故选D.答案：D
