1、7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课后训练提升基础巩固1.已知复数z1=2-12i,z2=12-2i,则z1+z2等于()A.0B.32+52iC.52-52iD.52-32i解析z1+z2=2+12-12+2i=52-52i.答案C2.设z1=2+bi,z2=a+i,其中a,bR,当z1+z2=0时,复数a+bi为()A.1+iB.2+iC.3D.-2-i解析由题意,可知z1+z2=2+a+(b+1)i=0,则2+a=0,b+1=0,解得a=-2,b=-1.故a+bi=-2-i.答案D3.若|z1|=5,z2=3+4i,且z1+z2R,则复数z1是()A.3+4iB.3-4iC.3+4i
2、或3-4iD.3-4i或-3-4i解析z1+z2R,设z1=a-4i(aR).又|z1|=5,a2+16=25,解得a=3.z1=3-4i或z1=-3-4i.答案D4.已知复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,作ABCD,则|BD|等于()A.5B.13C.15D.17解析由题意,可知向量OA,OB,OC对应的复数分别为i,1,4+2i.BA=OA-OB,BC=OC-OB,BA对应的复数为i-1,BC对应的复数为4+2i-1=3+2i,又BD=BA+BC,BD对应的复数为(i-1)+(3+2i)=2+3i.|BD|=|2+3i|=13.答案B5.已知复数z1=1+icos ,z
3、2=sin -i,R,则|z1-z2|的最大值为()A.3-22B.2-1C.3+22D.2+1解析|z1-z2|=|(1+icos )-(sin -i)|=(1-sin)2+(1+cos)2=3-2(sin-cos)=3-22sin-43+22=2+1.答案D6.若复数z2=3+4i,z1-z2=5-2i,则z1=,z1+z2=.答案8+2i11+6i7.若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是.解析由|z-2|=|z+2|,知在复平面内z对应的点到点(2,0)与(-2,0)的距离相等,故z对应的点的集合为虚轴.|z-1|表示z对应的点与点(1,0)的距离,故|z-1|min=1.答
4、案18.如果一个复数与它的模的和为5+3i,那么这个复数为.解析设这个复数为x+yi(x,yR),则x+yi+x2+y2=5+3i,所以x+x2+y2=5,y=3,解得x=115,y=3.故这个复数为115+3i.答案115+3i9.计算:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).解(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)=(3-4-3)+(-5-1-4)i=-4-10i.(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.10.已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对
5、应的复数分别为1+3i,-i,2+i,求点D对应的复数.解设点D对应的复数为x+yi(x,yR),则AD对应的复数为(x+yi)-(1+3i)=(x-1)+(y-3)i,BC对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i.AD=BC,(x-1)+(y-3)i=2+2i.x-1=2,y-3=2,解得x=3,y=5.故点D对应的复数为3+5i.能力提升1.若z1=2+i,z2=3+ai(aR),且在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(1+a)i.在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,1+a=0,a=-1.答案D
6、2.在复平面内的平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA,OB对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i解析依题意有CD=BA=OA-OB,故CD对应的复数是(3+i)-(-1+3i)=4-2i.答案D3.已知复平面内的ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则复数z对应的点是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,复数z的对应点P到ABC的三个顶点的距离相等,P为ABC的外心.答案A4.如果复
7、数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值为()A.1B.2C.2D.5解析设复数-2i,2i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3.因为|z+2i|+|z-2i|=4,Z1Z2=4,所以复数z在复平面内对应的点Z的集合为线段Z1Z2.|z+i+1|的几何意义为点Z与Z3之间的距离,如图所示.作Z3Z0Z1Z2于点Z0,则当点Z与Z0重合时,点Z与Z3之间的距离最短,即|ZZ3|min=1,故|z+i+1|的最小值为1.故选A.答案A5.若复数z满足|z|=1,则|z-i|的最大值为.解析|z|=1,z在复平面内对应的点Z的集合为以原点O为圆心,1为半径的圆
8、.又|z-i|表示点Z与点(0,1)之间的距离,|z-i|max=2.答案26.已知复数z=x+yi(x,yR)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为.解析|z-4i|=|z+2|,即|x+yi-4i|=|x+yi+2|,x2+(y-4)2=(x+2)2+y2.x+2y=3.2x+4y=2x+22y22x22y=22x+2y=42,当且仅当2x=22y,即x=32,y=34时,等号成立.答案427.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,yR),z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.解z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-(
9、4y-2x)-(5x+3y)i=(3x+y)-(4y-2x)+(y-4x)+(5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i.因为z=13-2i,所以5x-3y=13,x+4y=-2,解得x=2,y=-1.所以z1=(32-1)+(-1-42)i=5-9i,z2=4(-1)-22-52+3(-1)i=-8-7i.8.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量AB,AC,BC对应的复数;(2)求ABC的面积.解(1)由题意,可知AB对应的复数为2+i-1=1+i,AC对应的复数为-1+2i-1=-2+2i,BC对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i.(2)由(1)知|AB|=|1+i|=2,|AC|=|-2+2i|=22,|BC|=|-3+i|=10.|AB|2+|AC|2=|BC|2,BAC=90,SABC=12|AB|AC|=2.
