1、七 空间中的平面与空间向量(15 分钟 30 分)1已知平面 的法向量为(2，4，2)，平面 的法向量为(1，2，k)，若，则 k()A2 B1 C1 D2【解析】选 C.设平面 的法向量 a(2，4，2)，平面 的法向量 b(1，2，k).因为，所以 ab，所以存在实数 使得 ab.所以2422k，得 k1.【补偿训练】已知平面 和平面 的法向量分别为 a(1，1，2)，b(x，2，3)，且，则 x()A4 B2 C2 D4【解析】选 A.因为，所以 ab.所以 abx260，解得 x4.2已知平面 的法向量为 n(1，1，1)，直线 AB 与平面 相交但不垂直，则向量AB 的坐标可以是()
2、A(2，2，2)B(1，3，2)C(2，1，1)D(1，2，3)【解析】选 D.因为(2，2，2)2(1，1，1)，即选项 A 中的向量与 n 平行，从而线面垂直，因为|x|3x(1)210，211(1)(1)10，所以选项 B、C 中的向量与 n 垂直，从而线面平行或线在面内，而选项 D 中的向量与 n不平行，也不垂直，所以AB 的坐标可以是(1，2，3).3如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PABC，PBAC，点 G 是 P 在平面 ABC内的射影，则 G 是ABC 的()A内心 B外心C垂心 D重心【解析】选 C.连接 AG，BG，则 AG，BG 分别为 AP，BP 在平面 ABC 内
3、的射影因为 PABC，所以由三垂线定理的逆定理知 AGBC，同理，BGAC，所以 G是 ABC 的垂心 4已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9，3，4)，B(9，2，1)，则线段 AB 与哪个坐标平面平行_【解析】AB(0，5，3)，因为 yOz 面方程为 x0，AB yOz 面答案：yOz 平面 5已知 PA平面 ABCD，PAAB3，平面 ABCD 为正方形试建立适当的平面直角坐标系，分别求下列平面的法向量：(1)平面 ABCD；(2)平面 PAB；(3)平面 PBC；(4)平面 PCD.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系 则(1)平面 ABCD 的法向量为(0，0，1)；(2)平面
4、PAB 的法向量为(0，1，0)；(3)由 B(3，0，0)，C(3，3，0)，P(0，0，3)，所以PB(3，0，3)，PC(3，3，3)，设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)，则nPB0nPC0，所以3x3z0，3x3y3z0，取 n(1，0，1)，即平面 PBC 的法向量为(1，0，1)；(4)由(3)同理可得：平面 PCD 的法向量为(0，1，1).(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1已知两不重合的平面 与平面 ABC，若平面 的法向量为 n1(2，3，1)，AB(1，0，2)，AC(1，1，1)，则()A平面 平面 ABCB平面 平面 ABC
5、C平面、平面 ABC 相交但不垂直D以上均有可能【解析】选 A.由题意，计算 n1AB 21(3)01(2)0，得 n1AB；计算 n1AC 21(3)1110，得 n1AC；所以 n1平面 ABC，所以平面 的法向量与平面 ABC 的法向量共线，则平面 平面 ABC.2设 A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AMn0 的点 M构成的图形是()A圆B直线C平面D线段【解析】选 C.M 构成的图形经过点 A，且是以 n 为法向量的平面 3已知直线 l 的方向向量为 s(1，2，x)，平面 的法向量 n(2，y，2)，若l，则 xy 的最大值为()A1 B14 C12 D18【解析
6、】选 B.由题意可得 sn，所以 sn22y2x0，可得 xy1.当 x，y 同负，一正一负或一个为 0，一个为 1 时，均不满足题意，令 x，y0，则 12 xy，可得 xy14，当且仅当 xy12 时取等号 4已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面 ABC 的一个单位法向量是()A33，33，33 B33，33，33C 33，33，33 D 33，33，33【解析】选 D.AB(1，1，0)，AC(1，0，1).设平面 ABC 的一个法向量为 n(x，y，z).则AB n0，AC n0，所以xy0，xz0.令 x1，则 y1，z1，所以 n(1，1，1)，单位法
7、向量为(33，33，33)或(33，33，33).二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5已知 v 为直线 l 的方向向量，n1，n2 分别为平面，的法向量(，不重合)，那么下列选项中，正确的是()An1n2 Bn1n2Cvn1l Dvn1l【解析】选 AB.v 为直线 l 的方向向量，n1，n2 分别为平面，的法向量(，不重合)，则 n1n2，n1n2，vn1l，vn1l 或 l.因此 AB 正确 6已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB(2，1，4)，AD(4，2，0)，AP(1，2，1).下列结论
8、正确的有()AAPABBAPADCAP 是平面 ABCD 的一个法向量DAP BD【解析】选 ABC.对于 A，AB AP 2(1)(1)2(4)(1)0，所以APAB，即 APAB，A 正确；对于 B，AP AD(1)422(1)00，所以AP AD，即 APAD，B 正确；对于 C，由AP AB，且AP AD，得出AP 是平面 ABCD 的一个法向量，C正确；对于 D，由AP 是平面 ABCD 的法向量，得出AP BD，则 D 错误三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7已知 A，B，C 的坐标分别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点 P 的坐标是(x，0，y)，若 P
9、A平面 ABC，则点 P 的坐标是_【解析】根据题意，可得AB(1，1，1)，AC(2，0，1)，PA(x，1，y)，因为 PA平面 ABC，所以PA AB 且PA AC，可得PAAB x1y0PAAC 2x0y0，解之得 x1，y2，可得 P 的坐标是(1，0，2).答案：(1，0，2)8在空间四边形 P-ABC 中，PA平面 ABC，ACBC，若 A 在 PB，PC 上的射影分别为 E，F.则 EF 与 PB 的位置关系是_【解析】因为 PA平面 ABC，所以 PABC.又因为 ACBC，PAACA，所以 BC平面 PAC.而 AF 平面 PAC，所以 BCAF.又因为 F 是点 A 在
10、PC 上的射影，所以 AFPC，又 BCPCC，所以 AF平面 PBC.所以 AE 在平面 PBC 内的射影为 EF.又因为 E 为 A 在 PB 上的射影，所以 AEPB.由三垂线定理的逆定理知 EFPB.答案：EFPB 四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABAC，ABACAA1，D 为 BC 的中点(1)证明：A1B平面 ADC1；(2)证明：平面 ADC1平面 BB1C1C.【证明】(1)因为在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABAC，所以以 A1 为原点，C1A1 为 x 轴，A1B1 为 y 轴，A1A 为 z 轴，建立空间
11、直角坐标系，设 ABACAA12，则 A1(0，0，0)，B(0，2，2)，A(0，0，2)，C(2，0，2)，D(1，1，2)，C1(2，0，0)，1A B(0，2，2)，AD(1，1，0)，1AC(2，0，2)，设平面 ADC1 的法向量 n(x，y，z)，则1ADxy0AC2x2z0 nn，取 x1 得 n(1，1，1)，因为 n1A B0220，且 A1B平面 ADC1，所以 A1B平面 ADC1.(2)因为DC(1，1，0)，1DC(1，1，2)，设平面 BB1C1C 的法向量 m(a，b，c)，则1DCab0,DCab2c0,mm取 a1，得 m(1，1，0)，又平面 ADC1 的
12、法向量 n(1，1，1)，nm1100，所以平面 ADC1平面 BB1C1C.10如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形，ABDC，ACBD，AC 与 BD 相交于点 O，且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点，又 BO2，PO 2，PBPD.设点 M 在棱 PC 上，问 M 点在什么位置时，PC平面 BMD.【解析】因为 PO平面 ABCD，所以 POBD，又 PBPD，BO2，PO 2，由平面几何知识得：ODOC1，BOAO2，以 O 为原点，OA，OB，OP 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为 O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0
13、，2，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，设 M(x0，0，z0)，由于 P，M，C 三点共线，得PM PC，又PM(x0，0，z0 2)，PC(1，0，2)，由对应系数成比例有 z0 2 x0 2，则 M(x0，0，2 x0 2)，BM(x0，2，2 x0 2)，连接 BM，DM，因为 PC平面 BMD，所以PC BM，所以(1，0，2)(x0，2，2 x0 2)0，得 x023，所以 z0 23，所以 M23，0，23，故PMMC 2，则 M 点是靠近 C 点的三等分点 1如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，BAC90，ABAC
14、AA11，D 是棱 CC1的中点，P 是 AD 的延长线与 A1C1的延长线的交点若点 Q 在线段 B1P 上，则下列结论正确的是()A当点 Q 为线段 B1P 的中点时，DQ平面 A1BDB当点 Q 为线段 B1P 的三等分点时，DQ平面 A1BDC在线段 B1P 的延长线上，存在一点 Q，使得 DQ平面 A1BDD不存在 DQ 与平面 A1BD 垂直【解析】选 D.以 A1 为原点，A1B1，A1C1，A1A 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由已知得 A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D0，1，12，P(0，2，0)，
15、1A B(1，0，1)，1A D0，1，12，1B P(1，2，0)，1DB 1，1，12.设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，则11A Bxz0,1A Dyz0,2nn取 z2，则 x2，y1，所以平面 A1BD 的一个法向量为 n(2，1，2).假设 DQ平面 A1BD，且1B Q1B P(1，2，0)(，2，0)，则DQ 1DB 1B Q1，12，12，因为DQ 也是平面 A1BD 的法向量，所以 n(2，1，2)与DQ 1，12，12共线，于是有12121122 14 成立，但此方程关于 无解故不存在 DQ 与平面 A1BD 垂直 2如图，在矩形 ABCD 中，AB 3，B
16、Ca，又 PA平面 ABCD，PA4.(1)若在边 BC 上存在点 Q，且使得 PQQD，求 a 的取值范围；(2)当 BC 边上存在唯一点 Q，使 PQQD 时，求异面直线 AQ 与 PD 所成角的余弦值【解析】(1)分别以 AD，AB，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 B(0，3，0)，C(a，3，0)，D(a，0，0)，P(0，0，4)，设 Q(t，3，0)，可得PQ(t，3，4)，DQ(ta，3，0)，因为 PQDQ，所以PQ DQ t(ta)30，即 t2at30，因此，a2120，又因为 a0，解之得 a2 3；(2)因为边 BC 上存在唯一的点 Q，使得 PQQD，所以由(1)得 a2 3，t 3 可得 Q(3，3，0)，AQ(3，3，0)，PD(2 3，0，4)，所以 cos AQ，PD AQ PD|AQ|PD|662 7 4214，因此异面直线 AQ 与 PD 所成角的余弦值为 4214.
