1、四 空间向量的坐标(15 分钟 30 分)1已知 a(2，3，4)，b(4，3，2)，b12 x2a，则 x 等于()A(0，3，6)B(0，6，20)C(0，6，6)D(6，6，6)【解析】选 B.由 b12 x2a，得 x4a2b(8，12，16)(8，6，4)(0，6，20).2已知向量 a(2x，1，3)，b(1，2y，9)，若 a 与 b 为共线向量，则()Ax1，y1 Bx12，y12 Cx16，y32 Dx16，y32 【解析】选 C.因为 a(2x，1，3)与 b(1，2y，9)共线，所以2x1 12y 39(y0)，所以 x16，y32.【补偿训练】(多选题)已知 a(1，0
2、，2)，b(6，2 1，2)，若 ab，则 与 的值可以是()A2，12 B3，12 C3，2 D12，2【解析】选 AB.由题意知：16 22，210，解得2，12 或3，12 3已知 a(1，0，1)，b(x，1，2)，且 ab3，则向量 a 与 b 的夹角为()A56 B23 C3 D6 【解析】选 D.因为 abx23，所以 x1，所以 b(1，1，2)，所以 cos a，b ab|a|b|32 6 32 ，又因为a，b0，所以 a 与 b 的夹角为6 .4已知 a(1，5，2)，b(m，2，m2)，若 ab，则 m 的值为()A0 B6 C6 D6【解析】选 B.因为 ab，所以 1
3、m522(m2)0，解得 m6.5已知e1，e2，e3是单位正交基底，a3e12e2e3，be13e3，(1)分别求 a2b 与 a()3b 的坐标；(2)若 ce1xe2e3，且 ac4，求 x 的值【解析】由题意得：a(3，2，1)，b(1，0，3)，c(1，x，1)，(1)a2b()3，2，1 2()1，0，3 ()5，2，7 ；a()3b ()3，2，1 3()1，0，3 ()3，2，1 ()3，0，9 90918.(2)因为 ac()3，2，1 ()1，x，1 32x14，所以 x0.(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1已知空间向量 a(1，x，1)，
4、b(3，1，y)，c(z，0，0)，abc，则xyz 的值为()A2 B2 C2 D0【解析】选 C.因为空间向量 a(1，x，1)，b(3，1，y)，c(z，0，0)，abc，所以(2，x1，1y)(z，0，0)，所以2z，x10，1y0，解得 x1，y1，z2，所以 xyz(1)(1)22.2已知向量 a(1，1，0)，b(1，0，2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k的值是()A1 B15 C35 D75 【解析】选 D.依题意得(kab)(2ab)0，所以 2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|b|25，ab1，所以 4kk250，解得 k75.3已知 a(cos
5、 ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量 ab 与 ab 的夹角是()A90 B60 C45 D30【解析】选 A.ab(cos sin，2，sin cos)，ab(cos sin，0，sin cos)，所以(ab)(ab)0，所以(ab)(ab).4已知向量 a(2，1，2)，b(2，2，1)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为()A 652 B 65 C4 D8【解析】选 B.因为|a|22（1）222 3，|b|222212 3，所以 cos a，b ab|a|b|42233 49，所以 sin a，b 659 ，所以 S|a|b|sin a，b 65.二、多选题(
6、每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5下列每组两个向量满足平行的是()A()5，0，5 ，()0，5，0 B()0，0，1 ，()0，0，3 C()2，3，1 ，()2，3，1 D()1，1，2 ，()2，2，4 【解析】选 BD.根据空间向量平行的条件，()0，0，3 3()0，0，1 ，()2，2，4 2()1，1，2 ，所以 B，D 选项的两向量平行 6已知向量 a(1，2，3)，b(3，0，1)，c(1，5，3)，下列等式中正确的是()A(ab)cbc B(ab)ca(bc)C(abc)2a2b2c2 D|abc|abc|【解析
7、】选 BCD.A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边(4，2，2)(1，5，3)0，右边(1，2，3)(2，5，4)210120，所以左边右边，因此正确 Cabc(3，7，1)，左边3272(1)259，右边122232320(1)2(1)252(3)259，所以左边右边，因此正确 D由 C 可得：左边 59；因为 abc(1，3，7)，所以|abc|59，所以左边右边，因此正确 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7已知向量 a(2，3，6)，则|a _，与 a 同向的单位向量为_【解析】设 a()2，3，6 ，则|a|4936 7，则与其同向的单位向量为17 a 1
8、7()2，3，6 27，37，67 .答案：7 27，37，67 8已知 a(3，2，3)，b(1，x1，1)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则 x的取值范围是_ 【解析】因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 ab0，所以 3(1)(2)(x1)(3)12.若 a 与 b 的夹角为，则 x53，所以 x2，53 53，.答案：2，53 53，四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9(1)设向量 a(3，5，4)，b(2，0，3)，c(0，0，2)，求 a(bc)，a6b8c.(2)已知向量 b(x1，y2，z)和向量 a(1，2，3)，求 x，y，z 的值，使向量 b 与 a 同向，且|
9、b|2 14.【解析】(1)因为向量 a(3，5，4)，b(2，0，3)，c(0，0，2)，所以 a(bc)(3，5，4)(2，0，5)(1，5，9).a6b8c(3，5，4)(12，0，18)(0，0，16)(15，5，2).(2)因为向量 b 与 a 同向，且|b|2 14，所以x11 y22 z30，（x1）2（y2）2z22 14，解得 x1，y2，z6.10已知向量 a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，且 ab，bc.(1)求向量 a，b，c.(2)求向量 ac 与向量 bc 所成角 的余弦值【解析】(1)因为 ab，所以 x2 4y 11，且 y0，解得 x2，y
10、4，此时 a(2，4，1)，b(2，4，1).又由 bc 得 bc0，故(2，4，1)(3，2，z)68z0，得 z2，此时 c(3，2，2).(2)由(1)得 ac(5，2，3)，bc(1，6，1)，因此向量 ac 与向量 bc 所成角的余弦值为 cos（ac）（bc）|ac|bc|512338 38 219.1已知向量 a，b，c 是空间的一个单位正交基底，向量 ab，ab，c 是空间的另一个基底，若向量 p 在基底 a，b，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在 ab，ab，c 下的坐标为()A12，52，1 B52，1，12 C1，12，52 D52，12，1 【解析】选 D.设向量 a
11、(1，0，0)，b(0，1，0)，c(0，0，1)；则向量 ab(1，1，0)，ab(1，1，0)，又向量 p(3，2，1)，不妨设 px(ab)y(ab)zc，则(3，2，1)(xy，xy，z)，即xy3，xy2，z1，解得x52，y12，z1，所以向量 p 在 ab，ab，c 下的坐标为52，12，1 .2已知空间向量 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，定义两个空间向量 a 与 b 之间的距离为 d(a，b)3iii 1|ba|.(1)若 a(1，2，3)，b(4，1，1)，c112，12，0 ，证明：d(a，b)d(b，c)d(a，c).(2)已知 c(c1，c2，c3)，
12、证明：若 0，使 ba(cb)，则 d(a，b)d(b，c)d(a，c).若 d(a，b)d(b，c)d(a，c)，是否一定 0，使 ba(cb)？请说明理由【解析】(1)因为 a(1，2，3)，b(4，1，1)，c112，12，0 ，所以 d(a，b)3126，d(b，c)32 12 13，d(a，c)92 32 39，所以 d(a，b)d(b，c)d(a，c).(2)因为 0，使 ba(cb)，所以 0，使得(b1a1，b2a2，b3a3)(c1b1，c2b2，c3b3)，即 0，使得 biai(cibi)，其中 i1，2，3，所以 biai与 cibi(i1，2，3)同为非负数或同为负数 所以 d(a，b)d(b，c)3iii 1|ba|3iii 1|cb|3iiiii 1(|ba|cb|)3iii 1|ca|d(a，c)，即 d(a，b)d(b，c)d(a，c).不一定 0，使得 ba(cb).反例如下：取 a(1，1，1)，b(1，2，1)，c(2，2，2)，d(a，b)1，d(b，c)2，d(a，c)3，则 d(a，b)d(b，c)d(a，c)，因为 ba(0，1，0)，cb(1，0，1)，所以不存在0，使得 ba(cb).