1、第七节 相互独立事件同时发生的概率一、内容归纳：1知识精讲：（1）相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，那么称事件A，B为相互独立事件。注： 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也是相互独立的。（2）事件的积：设事件A、B是两个事件，A与B同时发生的事件叫做事件的积，记作AB。（此概念可推广到有限多个的情形）（3）独立重复试验（又叫贝努里试验）：在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。（4）两个相互独立事件A、B同时发生的概率为： P（AB）=P（A）P（B）；如果事件A1，A2，彼此独立，则P（A1A2）=P（A1）P（A2）P（）
2、；（5）n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率记为Pn（k），设在一次试验中事件A发生的概率为P，则Pn（k）=。2重点难点: 对相互独立事件、独立重复试验的概念的理解及公式的运用是重点与难点。3思维方式: 分类讨论，逆向思维（即利用P（A）=1P（）4特别注意：事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB)。特别地，当事件A与B互斥时，P(AB)0，于是上式变为P(A+B)P(A)+P(B)事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没
3、有影响.二、问题讨论：例1：甲、乙、丙3人各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率； (2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率.解：(1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A、B、C彼此独立，三人都击中目标就是事件ABC发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.80.80.60.384(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件AB，AC，BC分别发生，而这3种事件又互斥， 故所
4、求的概率是P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)P(A) P(B)P()+P(A) P()P(C)+P()P(B) P(C)+P(A) P(B) P(C) 0.80.80.4+0.80.20.6+0.20.80.6+0.80.80.60.832(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A， B， C，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A)+P(B)+P(C) P(A)P()P()+P()P(B) P()+P()P()P(C)0.80.20.4+0.20.80.4+0.20.20.60.152.说明：题(3)还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1-0.832-0.0
5、16可得.例2：(2003 江苏)有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）解: 设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（）， 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为（）解法一：至少有两件不合格的概率为 解法二：三件产品都合格的概率为由（）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为思维点拨：解题时要注意把一个事件分拆为n个互斥事件时，要考虑周全。例3：三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4, 乙队胜丙队的概率为0.5丙队胜甲队的概率
6、为0.6,比赛顺序是:第一局是甲队对乙队,第二局是第一局中胜者对丙队,第三局是第二局胜者对第一局中败者,第四局是第三局胜者对第二局败者,求乙队连胜四局的概率.解：设乙队连胜四局为事件A，有下列情况： 第一局中乙胜甲（A1），其概率为10.4=0.6，第二局中乙胜丙（A2），其概率为0.5，第三局中乙胜甲（A3），其概率为0.6，第四局中乙胜丙（A4），其概率为0.5。因各次比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P（A）=P（A1A2A3A4）=0.620.52=0.09。思维点拨： 搞清每一局比赛中乙获胜的概率是正确解答本题的关键。例4：设每门高射炮命中飞机的概率为0.6，试求：（1）
7、两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率；（2）若今有一飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99的概率命中它？解：（1）P=0.84（2）设需要n门高射炮才能达目的，用A表示“命中飞机”这一事件，用Ai表示“第i门高射炮命中飞机”，则A1、A2An相互独立，故也相互独立，故P（A）=1P()=1P()=1P()P()P()=1.据题意P(A)0.99,199,得n5.02.答：至少需6门高射炮才能以99的概率命中。思维点拨： 本题若用直接法就不可能求解，故转化为间接考虑。例4：（2002年全国高考）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）。(1)求至
8、少3人同时上网的概率。(2)至少几人同时上网的概率小于0.3。解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率。即1。(2)至少4人同时上网的概率为：，至少5人同时上网的概率为。因此至少5人同时上网的概率小于0.3.例5：一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性，设构成系统的每个元件的可A1A2A3B1B2B3A1B1A2A3B3B2（）（）靠性为P（0P1，且每个元件能否正常工作是相互独立的。今有6个元件按图所示的两种联接方式构成两个系统（）、（），试分别求出它们的可靠性，并比较它们可靠性的大小。解：系统（）有两个道路，它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作，
9、而每条道路能正常工作当且仅当它的每个元件能正常工作。系统（）每条道路正常工作的概率是P3，不能工作的概率是1P3，系统（）不能工作的概率为(1P3)2。故系统（）正常工作的概率是P1=1(1P3)2=P3(2P3)；系统（）有3对并联元件串联而成，它能正常工作，当且仅当每对并联元件都能正常工作，由于每对并联元件不能工作的概率为(1P)2,因而每对并联元件正常工作的概率是1(1P)2, 故系统（）正常工作的概率是：P2=1(1P)23=P3(2P)3。又P1P2= P3(2P3)P3(2P)3=6P3(P1)20,P1P2，故系统()的可靠性大。思维点拨：本题的基本思路是从正反两个方面加以分析,先求出每个系统的可靠性再进行比较.三、课堂小结1. 应用公式时要注意前提条件,只有对相互独立事件A,B来说,才能运用公式P（AB）=P（A）P（B）.2. 在解题过程中要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积,或其对立事件.3. 要善于将具体问题化为某事件在n次独立重复试验中发生k次的概率.四、布置作业。 能力提高五、课后体会。
