1、10离散型随机变量的期望值和方差1、 知识精讲：1、 期望的定义 一般地，若离散型随机变量的分布列为x1x2x3xnPP1P2P3Pn则称E=x1P1+x2P2+x3P3+xnPn+为的数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。特别地，若，则为一般的算术平均数E(c)= c若=a+b(a、b为常数)，则也是随机变量，且E=aE+b。若B(n，P)，则E=nP=2、 方差、标准差定义D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(xn-E)2Pn+称为随机变量的方差。D的算术平方根=叫做随机变量的标准差。随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中
2、与离散的程度。，特别地，；D(a+b)=a2D,若B(n，p)，则D=npq=，其中q=1-p.可以证明D=E2- (E)2=2. 特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。二、问题讨论例1、（1）下面说法中正确的是 （）A离散型随机变量的期望E反映了取值的概率的平均值。B离散型随机变量的方差D反映了取值的平均水平。C离散型随机变量的期望E反映了取值的平均水平。D离散型随机变量的方差D反映了取值的概率的平均值。解：选C思维点拔此题考查离散型随机变量的期望、方差的概念。（2）
3、、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是 。解：含红球个数的E=0+1+2=1.2思维点拔：近两年的高考试题与考试说明中的“了解，会”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。-101P例2、已知的分布列为(1)求E,D, (2) 若=2+3,求E,D解：（1）E=,D, =（2）E=E(2+3)= 2 E+3=, D=例3、若随机事件A在1次试验中的概率为P（0P1）,用随机变量表示A在1次试验中发生的次数（1）
4、求方差D的最大值， （2）求的最大值解：随机变量的取值有0,1.P(=1)=P, P(=0)=1-PE=p,D=,(1) D= 当p=0.5时，D的最大值为0.25(2) =当取最大值练习：某运动员投篮命中率为P=0.6（1）求一次命中的期望与方差；（2）求重复五次投篮时，命中次数的期望与方差。解：（1）为01分布，E=0.6, D=0.24(2)为二项分布B(5，0.6) E=50.6=3 D=50.60.4=1.2思维点拔：熟悉01分布，与二项分布B(n，p)。并能熟练计算他们的期望与方差例4、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元）季度一二三四季平均值甲厂705080406
5、0乙厂5565556560试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。解：设随机变量与分别表示甲、乙两厂上缴利税数，依题意有P(=k)=，P(=k)=(k=1，2，3，4)E=(70+50+80+40)=60E=(55+65+55+65)=60E2=(702+502+802+402)=3850E2=(552+652+552+652)=3625D=E2-(E)2=250，D=E2-( E)2=25由上述计算可知，两厂上缴利税的期望相等，说明平均水平相同；而甲厂的方差大于乙厂的方差，说明乙厂的波动性小，生产稳定；甲厂的波动性大，导致生产不稳定。思维点拔：本题考查利用离散型随机变量的方差与期望的知识，分析解
6、决实际问题的能力。例5、(1)设随机变量具有分布列为P(=k)=(k=1，2，3，4，5，6)，求E、E(2+3)和D。(2) 设随机变量的分布列为P(=k)= (k=1，2，3，n)，求E和D。(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。解：(1)E=x1P1+x2P2+x3P3+x6P6=1+2+3+6=3.5E(2+3)=2E+3=10D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(x6-E)2P6=(1-3.5)2+(2-3.5)2
7、+(6-3.5)2=17.5(2) E=(1+2+n)=D=E2-(E)2=(n2-1)(3)设为该生选对试题个数，为成绩。则(50，0.7)，=3E=500.7=35；D=500.70.3=10.5故E=E(3)=3E=105D=D(3)=9D=94.5思维点拔：可根据离散型随机变量的期望和方差的概念、公式及性质解答。三、课堂小结：1、利用离散型随机变量的方差与期望的知识，可以解决实际问题。利用所学知识分析和解决实际问题的题型，越来越成为高考的热点，应予重视。2、 常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题，借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决。同时，要提高分析问题和解决问题的能力，必须关注生产和生活。四、布置作业P442 能力提高
