1、第三节 圆的方程第三节 圆的方程 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1圆的方程(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中_为圆心，r 为半径(2)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)其中圆心为_，半径为_.(a，b)D2，E212D2E24F(3)圆的参数方程：xarcosybrsin(为参数)其中_为圆心，_为半径(a，b)r思考感悟二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么？提示：AC0，B0，D2E24AF0.2点与圆的位置关系点与圆的位置关系可以利用点与圆心间的距离跟半径 r 的大小关系的比较来判断(1)
2、点 P(x0，y0)与M：(xa)2(yb)2r2的 位 置 关 系 有：(x0 a)2 (y0 b)2r2_；r2_；0_；0_；0_.点P在圆外点P在圆上点P在圆内1圆(xa)2(yb)2m2(m0)的圆心是_，半径是_2(2011年徐州质检)经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于的圆的标准方程是_课前热身答案：(a，b)|m答案：(x 3)2y233若方程x2y24x2y5k0表示圆，则k的取值范围是_答案：(，1)4圆的方程为x2y2kx2yk20，当圆面积最大时，圆心坐标为_答案：(0，1)考点探究挑战高考 考点突破 求圆的方程 无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数
3、，因此求圆的方程，应用三个条件来求一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式，否则选用一般式另外，还有几何法可以用来求圆的方程要充分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”等已知圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0，1)，且CP的斜率为1.(1)试求C的方程；(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1、l2，l1交C于E，F两点，l2交C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值【思路分析】(1)设出圆的一般式方程，列出方程组求解；(2)由图形结合l1l2及点到直线的距离等构造出重要不等式求最大值的条件例1【解】(1)
4、设圆 C 的方程为 x2y2DxEyF0，则 C 点的坐标为(D2，E2)，且PC 的斜率为1，因为圆 C 通过不同的三点 P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，所以有 1EF0，42DF0，D22m2，E20D2m1，解得D1，E5，F6，m3.所以圆 C 的方程为 x2y2x5y60.(2)圆心 C(12，52)，设圆心到 l1，l2 的距离分别为 d1，d2，则 d21d22OC2132，又(EF2)2d21R2，(GH2)2 d22R2，两式相加，得：EF2GH2742EFGH，S12EFGH372，即(S 四边形 EFGH)max372.【名师点评】求圆的方程有两类方法：(1)几
5、何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程变式训练 1 根据下列条件求圆的方程(1)圆心 C(2，1)，且截直线 yx1 所得弦长为 2 2；(2)圆心在直线 y4x 上，且与直线 l：xy10 相切于点 P(3，2)解：(1)设圆的方程为(x2)2(y1)2r2(r0)由题意知，圆心到直线 yx1 的距离为d|21111 2.又直线 yx1 被圆截得的弦长为
6、2 2，2 22 r2d2，即 2 22r22，解得 r2.所求圆的方程为(x2)2(y1)24.(2)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有 b4a，3a22b2r2，|ab12r，解得a1，b4，r2 2.圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与 xy10 垂直的直线方程为 y2x3，其与 y4x 联立可求圆心为(1，4)r2 2.所求圆的方程为(x1)2(y4)28.与圆有关的最值问题(1)求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化如(1)形如 mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby 的最值问题，可转化
7、为直线在 y 轴上的截距的最值问题；(3)形如 m(xa)2(yb)2 的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题(2)特别要记住下面两个代数式的几何意义：yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的直线斜率，x2y2表示点(x，y)与原点的距离已知点 P(x，y)是圆(x2)2y21上任意一点(1)求 P 点到直线 3x4y120 的距离的最大值和最小值；(2)求 x2y 的最大值和最小值；(3)求y2x1的最大值和最小值例2【思路分析】根据几何意义，借助于平面几何知识，利用数形结合求解【解】(1)圆心 C(2,0)到直线 3x4y120的距离为d|324012324265.P 点到直线
8、3x4y120 的距离的最大值为dr651115，最小值为 dr65115.(2)设 tx2y，则直线 x2yt0 与圆(x2)2y21 有公共点|2t12221.52t 52，tmax 52，tmin2 5.(3)设 ky2x1，则直线 kxyk20 与圆(x2)2y21 有公共点，|3k2k211.3 34k3 34，kmax3 34，kmin3 34.【名师点评】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解一般地：形如 ybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如 taxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如 m(xa)2(yb)2 的最值问题，可转化为两
9、点间的距离平方的最值问题等互动探究2 本例题条件不变，求x2y2的最大值和最小值解：x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为 2020022.(x2y2)max(21)29，(x2y2)min(21)21.求轨迹问题是解析几何的一个重要内容，也是高考的热点问题，因此必须认真领会、掌握，求轨迹时，应注意以下几点：(1)求方程必须建立适当的平面直角坐标系，有利于简化解题过程，所得方程比较简单；(2)一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，如有特殊情况，可适当予以说明，即删去增加的解和补上失去的解；与圆有关的轨
10、迹问题(3)一般地，求哪个点的轨迹，就设哪个点的坐标；(4)求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线；(5)在某些较复杂的探求轨迹方程的问题中，可先确定一个较易求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求轨迹上的点作为相关点，求得轨迹方程(2011年常州质检)在等腰ABC中，已知ABAC，且点B(1,0)，点D(2,0)为AC的中点(1)求点C的轨迹方程；(2)已知直线l：xy40，求边BC在直线l上的射影EF长的最大值例3【思路分析】(1)设出点C，表示出点A坐标，代入ABAC，可得到C的轨迹方程；(2)结合图形可知CF与圆C相切时，
11、EF最长【解】(1)设C(x，y)，D(2,0)为AC的中点，A(4x，y)B(1,0)，由ABAC，得AB2AC2.(x5)2y2(2x4)2(2y)2.整理得(x1)2y24.A，B，C三点不共线，y0，则点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)法一：由条件，易得 BE：xy10.设 CF：xyb0，当 EF 取得最大值时，直线 CF 与圆(x1)2y24 相切设 M(1,0)，则|10b22.b2 21(舍去)，或 b2 21.CF：xy2 210.EFmax 等于点 B 到 CF 的距离|102 212 22.法二：设点 M(1,0)，过 M 作 AE，CF 的垂线，垂足分别为
12、G，H，则四边形 EFHG 是矩形EFGHGMMH.由条件，得 MGBM2 22 2.MH 的最大值为半径 2，EFmax 22.【名师点评】本题中圆C的方程按求点的轨迹的步骤求出，这不同于已知轨迹为圆的情形下求圆的方程，因而，圆的有关性质以及方程是无法作为条件来应用的方法技巧1利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径，比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大简化计算的过程与难度方法感悟2点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系dr时
13、，点在圆外3当二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0具有条件：(1)AC0；(2)B0；(3)D2E24AF0时，它才表示圆条件(1)和(2)是此方程表示圆的必要条件，但不充分，条件(1)、(2)、(3)合起来是此方程表示圆的充要条件4圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法5研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解研究圆上的点到定点(或到定直线)的距离的最值问题，一般在点与定点的连线(点与直线的垂线)过圆心时寻找，解决这类问题除可充分利用圆的几何性质外，还可考虑圆的参数方程进行三角代换，利用三角函数有界性求解失误防
14、范1圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，应用时半径用错，易看成r2为半径圆的一般方程在应用时，易错写圆心坐标和半径2在应用圆的性质解题时，易理解错误造成解题出错，要熟记有关性质考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径等是高考的热点，题型既有填空题，又有解答题客观题突出了“小而巧”，主要考查圆的标准方程、一般方程；主观题往往在知识交汇处命题，除考查圆的标准方程、一般方程外，还考查待定系数法、方程思想等 预测2012年江苏高考仍将以求圆的方程为主要考查点，重点考查运算能力以及逻辑推理能力(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数
15、f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论例规范解答【解】(1)令x0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)令f(x)0，得x22xb0.由题意b0且0，解得b1且b0.3分(2)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb.5分令x0得y2Eyb0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1.所以圆C的方程为x2y22x(b1)yb0 8分(3)圆C必过定点(0,1)和(2,1).10分证明如下：将(0
16、,1)代入圆C的方程，得左边021220(b1)b0，右边0.12分所以圆C必过定点(0,1)同理可证圆C必过定点(2,1).14分【名师点评】圆的方程有标准式和一般式，虽然都需要三个独立条件才能求出圆的方程，但意义又不相同，圆的一般式方程，更侧重方程运算，而标准方程侧重于图形的性质，在解题中，善于辨别所给条件，选取准确的方程形式对于解题起着非常重要的作用1如果圆(xa)2(ya)24上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_名师预测解析：圆的半径为 2，欲使圆上总存在两个点到原点的距离为 1，则圆心到原点的距离在区间(1,3)内，1 2|a 3，解得 a(32 2，22)(22，
17、32 2)答案：(32 2，22)(22，32 2)2一束光线从点A(1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x2)2(y3)21上的最短路程是_解析：先作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 C，问题转化为求点 A 到圆 C上的点的最短路径，即 AC 14.答案：43已知以点 C(t，2t)(tR，t0)为圆心的圆与 x轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其中 O为原点(1)求证：OAB 的面积为定值；(2)设直线 y2x4 与圆 C 交于点 M，N，若OMON，求圆 C 的方程解：(1)证明：圆 C 过原点 O，OC2t24t2.设圆 C 的方程是(xt)2(y2t)2t24t2.令 x0
18、，得 y10，y24t；令 y0，得 x10，x22t，SOAB12OAOB12 4t|2t 4，即OAB 的面积为定值(2)OMON，CMCN，OC 垂直平分线段 MN.kMN2，kOC12，直线 OC 的方程是 y12x.2t12t，解得 t2 或 t2.当 t2 时，圆心 C 的坐标为(2,1)，OC 5，此时 C到直线 y2x4 的距离 d 15 5，圆 C 与直线 y2x4 相交于两点当 t2 时，圆心 C 的坐标为(2，1)，OC 5，此时 C 到直线 y2x4 的距离 d 95 5，圆 C 与直线 y2x4 不相交，t2 不符合题意故舍去圆 C 的方程为(x2)2(y1)25.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
