1、第二章章末小结1.平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.线线、线面、面面平行的判定方法线线平行的判定方法:(1)平面几何中的判定方法:如中位线、相似三角形、平行四边形 .(2)线面平行的性质定理:a,a,=bab.(3)面面平行的性质定理:,=a,=bab.(4)特殊几何体的性质,如棱柱、棱台等.线面平行的判定方法:(1)定义法:证明直线与平面没有公共点,该方法适用于反证法;(2)线面平行的判定定理:a,b,aba;(
2、3)面面平行的性质定理:a,a;(4)平面外与平面的垂线垂直的直线平行于这个平面:a,b,aba;(5)特殊几何体具有的性质,如棱柱、棱台等.面面平行的判定方法:(1)定义法:证明两个平面没有公共点;(2)面面平行的判定定理:a,b,ab=A,a,b;(3)垂直于同一直线的两个平面平行,即a,a;(4)平行于同一平面的两个平面平行,即,;(5)特殊几何体具有的性质,如棱柱、棱台等.3.线线、线面、面面垂直的判定方法线线垂直的判定方法:(1)平面几何中的判定方法,如勾股定理、菱形的对角线、等腰三角形.(2)线面垂直的性质定理:a,bab.(3)特殊几何体的性质,如棱柱,棱台等.线面垂直的判定方法
3、:(1)线面垂直的判定定理:a,b,ab=A,la,lbl;(2)面面垂直的性质定理:,=l,a,ala;(3)与平面的垂线平行的直线也垂直这个平面:a,abb;(4)平面的垂线也垂直于与这个平面平行的平面:a,a;(5)特殊几何体具有的性质,如棱柱、棱台等.面面垂直的判定方法:(1)定义法:证明两个平面所交的二面角是直角;(2)面面垂直的判定定理:a,a;(3)与一个平面的垂线平行的平面与这个平面垂直,即a,a;(4)与一个平面垂直的平面也垂直这个平面的平行面,即,;(5)特殊几何体具有的性质,如棱柱、棱台等.4.空间中的角度概念(1)异面直线所成的角:直线a,b是异面直线,经过空间任一点O
4、,分别作直线aa,bb,相交直线a,b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a,b所成的角.(2)直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线与平面所成的角;当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角是90;当直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角是0.(3)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角.二面角与二面角的平面角大小相等,所以求二面角的关键点是找二面角的平面角.题型一:考查空间位置关系的判断及性质已知m,n是不同的直线,
5、是不重合的平面,给出下列结论:若m,则m平行于平面内任意一条直线;若,m,n,则mn;若m,n,mn,则;若,m,则m.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)【方法指导】根据线线、线面、面面的位置关系判断.【解析】若m,则m平行于过m的平面与相交的交线,并非所有的直线,故错;若,m,n,则可能mn,可能m,n异面,故错;m,mn,n.又n,故正确;m,故正确.【答案】【小结】解决该类问题要紧扣空间点、线、面的位置关系的概念,并结合线、面位置关系的判定定理和性质定理进行判断.题型二:考查空间平行关系的判定及性质如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分别是棱A1B1、A
6、1D1、B1C1、C1D1的中点,AB=1.(1)求证:平面AMN平面EFDB;(2)求平面AMN到平面EFDB的距离.【方法指导】(1)依据题目中的中点关系及线线平行关系求证;(2)由(1)知两平面平行,转化为点F到平面AMN的距离,利用等体积法求解.【解析】(1)连接MF,M、F分别是A1B1、C1D1的中点,四边形A1B1C1D1为正方形,MFA1D1.又A1D1AD,MFAD.四边形AMFD是平行四边形,AMDF.DF平面EFDB,AM平面EFDB,AM平面EFDB.同理AN平面EFDB.又AM、AN平面ANM,AMAN=A,
7、平面AMN平面EFDB.(2)连接NF,AF,由(1)知,点F到平面AMN的距离d即为两平行平面AMN和平面EFDB的距离.由VA-MNF=VF-ANM,SAMN=,VA-MNF=,知dSAMN=,得d=,故平面AMN到平面EFDB的距离为.【小结】(1)所给条件若含有中点,则往往要利用中点构造线线平行关系(常用的方法有:构造平行四边形,构造三角形或梯形的中位线).(2)求两平行平面的距离的关键就是转化为点到平面的距离.在其中一个面上确定一点,求其到另一个面的距离,而等体积法是求距离的一种重要方法.题型三:考查空间垂直关系的判定及性质已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB
8、、BC的中点,PA平面ABCD,证明:PFFD.【方法指导】要证线线垂直,可转化为证明线面垂直,本题关键是用勾股定理逆定理判断DFAF.【解析】连接AF,则AF=2,DF=2.又AD=4,DF2+AF2=AD2,DFAF.又PA平面ABCD,DFPA,又PAAF=A,DF平面PAF,又PF平面PAF,DFPF.【小结】本题考查线线垂直、线面垂直的相互转化.证明线线垂直时,可以利用空间有关知识解决,也可以利用平面知识解决(如本题证明DFAF时,利用了勾股定理的逆定理),这一点要引起我们的注意.题型四:异面直线与线面角的计算如图, PD平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PD=DC=2,BC=2.
9、(1)求PB与平面ADC所成角的大小;(2)求异面直线PC,BD所成角的正弦值.【方法指导】(1)找出PB在平面ADC上的射影,并求出两者的夹角,即为线面角;(2)根据等角定理找到分别与异面直线平行的两条直线相交的情形.【解析】 (1)因为PD平面ABCD,所以PBD为PB与平面ADC所成角,因为四边形ABCD是矩形,所以BCDC,所以BD=2,tanPBD=,所以PBD=30,即PB与平面ADC所成角的大小为30.(2)连接AC交BD于点O,取PA的中点G,连接OG,DG,则OGPC,所以DOG为异面直线PC,BD所成角,因为OG=PC=,OD=BD=,DG=PA=,所以OGD是等腰三角形,
10、做出底边的高,易求出sinDOG=.所以异面直线PC,BD所成角的正弦值为.【小结】求异面直线所成的角和线面角的方法:首先通过作图找到它们的平面角,其次分析平面角所在的三角形,根据三角形知识求出角的三角函数,最后确定角的值.题型五:平行与垂直的综合应用如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1面ABCD,DAB=60,AD=AA1,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点,(1)求证:MF/平面ABCD;(2)求证:MF平面BDD1B1.【方法指导】注意线面平行的转化,即可以用线线平行推导线面平行,也可以用面面平行得到线面平行,线面垂直也一样,可以先证AC平面BB1D1D.
11、【解析】(1)连结AC交BD于点O,再连结MO.OMDD1,又DD1A1A,OMA1A,又AF=A1A,OMAF,四边形MOAF是平行四边形,MFCA.又CA面ABCD,MF平面ABCD,MF平面ABCD.(2)底面是菱形,ACBD.又B1B平面ABCD,AC平面ABCD,ACB1B,AC面BDD1B1.又MFAC,MF平面BDD1B1.【小结】利用线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定定理和性质定理将所需要证的问题转化为线线的平行和垂直问题,再利用平面几何知识解决线线问题是平行问题和垂直问题中做重要的一种方法.题型
12、六:综合性问题如图,边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将AED、DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点A,连接EF,AB.(1)求证:ADEF;(2)求二面角A-EF-D的余弦值.【方法指导】本题综合了折叠问题、垂直问题和二面角的计算,在审题时要结合折叠前后的图形进行分析,找出在折叠过程中没有改变的元素.【解析】 (1)在正方形ABCD中,有ADAE,CDCF,则ADAE,ADAF,又AEAF=A,AD平面AEF,而EF平面AEF,ADEF.(2)连接BD交EF于点G,连接AG.在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点, BE=BF,DE=
13、DF, 点G为EF的中点, 且BDEF.正方形ABCD的边长为2,AE=AF=1,AGEF,AGD为二面角A-EF-D的平面角,由(1)可得ADAG, ADG为直角三角形,正方形ABCD的边长为2, BD=2,EF=, BG=,DG=2-=, 又AD=2,AG=,cosAGD=,二面角A-EF-D的余弦值为.【小结】在高考中,平行问题、垂直问题、折叠问题、体积计算、距离计算、角度计算往往会综合其中若干种情形分析,在遇到这类问题时,首先对图象有深度的观察能力,其次对已知的条件要进行逻辑的推导,对结论的成立进行逆推,采用两头凑的思想,将问题逐层解决.1.(2013年广东卷)如图甲,在边长为1的等边
14、三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE ,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图乙所示的三棱锥ABCF,其中BC=.(1) 证明:DE平面BCF;(2) 证明:CF平面ABF;(3) 当AD=时,求三棱锥FDEG的体积VF-DEG.【解析】(1)依题意AD=AE,三角形ABC为等边三角形,=,DEBC.又DE平面BCF,BC平面BCF,DE平面BCF.(2)图甲中F为BC中点,BF=FC=,又BC=,BF2+FC2=BC2,BFC=90,CFBF.又AFFC,AFBF=F且AF,BF均在平面ABF内,CF平面ABF.(3)易知GEFC,由(2)知FC
15、平面ABF,GE平面GFD.又=,GE=CF=,GD=,GF=AF=.又FDG为直角三角形,SDGF=.三棱锥FDEG的体积为VF-DEG=SDGFGE=.2.(2013年山东卷)如图,四棱锥PABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE平面PAD;(2)求证:平面EFG平面EMN.【解析】(1)(法一)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EHAB,EH=AB.又ABCD,CD=AB,所以EHCD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形,所以CEDH,又DH平面PAD,CE平面PAD
16、,因此CE平面PAD.(法二)连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=AB.又CD=AB,所以AF=CD.又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CFAD.又CF平面PAD,所以CF平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又EF平面PAD,所以EF平面PAD.因为CFEF=F,故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF,所以CE平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA,又ABPA.所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MNCD.又ABCD,所以MN
17、AB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.3.(2013年北京卷)如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.【解析】(1)因为平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点,所以ABDE,且AB=DE,所以四边形ABED为平行四边形,所以BEAD.又因为BE平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因为ABAD,
18、而且四边形ABED为平行四边形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD,所以CD平面PAD,所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PDEF,所以CDEF,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD.4.(2013年江西卷)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)证明:BE平面BB1C1C;(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离.【解析】(1)过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.在RtBFE中,BE=.在RtCFB中,BC=.在BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1,所以BE平面BB1C1C.(2)三棱锥EA1B1C1的体积V=AA1=.在RtA1D1C1中,A1C1=3.同理,EC1=3,A1E=2.故=3,设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1-A1C1E的体积V=d=d,从而d=,d=.
