1、第一章 导数及其应用1.4 生活中的优生问题举例A级基础巩固一、选择题1正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A. B. C2 D.解析：设底面边长为a，高为h，则VSha2h，所以h，则表面积为S3ah2a2a2则Sa，令Sa0，可得a，即a.答案：D2若一个球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A2r2 Br2 C4r2 D.r2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，侧面积为S.则Rrcos ，l2rsin ，所以S2rcos 2rsin 4r2sin cos ，S4r2(cos2sin2)4r2cos2，令S0，得.当，即Rr时，S最大且Smax2r2.
2、答案：A3某出版社出版一读物，一页纸上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为()A左右长12 cm，上下长18 cmB左右长12 cm，上下长19 cmC左右长11 cm，上下长18 cmD左右长13 cm，上下长17 cm解析：设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为 cm，所以纸张的左右长为(x2) cm，上下长为 cm，所以纸张的面积S(x2)3x156.所以S3，令S0，解得x10.当x10时，S单调递增；当0x10时，S单调递减所以当x10时，Smin216 (cm2)，此时纸张的左右长为12 cm，上下长
3、为18 cm.故当纸张的边长分别为12 cm，18 cm时最节约答案：A4某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150 B200 C250 D300解析：由题意得，总利润P(x)令P(x)0，得x300，经检验当x300时总利润最大，故选D.答案：D5要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()A. cm B. cmC. cm D. cm解析：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为Vx(400x2)，0x20，V(4003x2)，令V0，解
4、得x.当0x时，V0；当x20时，V0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_解析：由题设知yx239x40，令y0，解得x40或x0)在40，上递增，在(0，40)上递减所以当x40时，y取得最小值由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.答案：407做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，所以L，要使用料最省，只需使圆柱表面积最小，因为S表R22RLR2(R0)，所以S表(R)2R，令S表(R)0，得R3，所以当R3时，S表最小答案：38某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万元/次，一
5、年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x_解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，所以总运费与总存储费之和(单位：万元)f(x)4n4x4x，f(x)4，令f(x)0，解得x20(20舍去)，当0x20时，f(x)0，当200.所以x20是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，故当x20时，运费与总存储费之和最小答案：20三、解答题9.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米
6、3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？解：设C点距D点xkm，则AC50x(km)，所以BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(50x)5a(0x50)y3a.令y0，解得x30.在(0，50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x30 km处取得最小值，此时AC50x20(km)故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省10.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图)问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为x m(1x4)，底面正六边形的面积为S m
7、2，帐篷的体积为V m3.则由题设可得正六棱锥底面边长为(m)，于是底面正六边形的面积为S6()2(82xx2)(m2)，所以帐篷的体积为V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(1612xx3)(m3)，求导数，得V(123x2)令V0，解得x2(舍去)或x2.当1x2时，V0；当2x4时，V0)，令l20，解得y16(另一负根舍去)，当0y16时，l16时，l0，所以当y16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x32.答案：A2如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_解析：设CDx，则点C坐标为，点B坐
8、标为(，1)，所以矩形ACBD的面积Sf(x)xx，x(0，2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2，所以x时，f(x)0，f(x)是递增的，x时，f(x)0，f(x)是递减的，所以当x时，f(x)取最大值.答案：3时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y4(x6)2，其中2x6，m为常数已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)解：(1)因为x4时，y21，代入关系式y4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y4(x6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)(x2)104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2x6)，从而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2x0，函数f(x)单调递增；在上，f (x)0，函数f(x)单调递减，所以x是函数f(x)在(2，6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x3.3时，函数f(x)取得最大值故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大
