1、第 5 讲 椭 圆第八章 平面解析几何1椭圆的定义条件结论 1结论 2平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1，F2 M 点的轨迹为椭圆 _为椭圆的焦点|MF1|MF2|2a_为椭圆的焦距 2a|F1F2|F1、F2|F1F2|2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)性质范围axabybbxbaya 对称性对称轴：_对称中心：(0，0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴 A1A2
2、 的长为_短轴 B1B2 的长为_ 焦距|F1F2|_ 离心率e_，e(0，1)a，b，c的关系c2_x 轴、y 轴2a2b2ccaa2b21辨明两个易误点(1)椭圆的定义中易忽视 2a|F1F2|这一条件，当 2a|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，当 2a|F1F2|时，不存在轨迹(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2y2b21(ab0)2求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在
3、x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)1.教材习题改编 椭圆 C：x225y2161 的左右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，则F1AB 的周长为()A12 B16C20 D24C 解析 F1AB 的周长为|F1A|F1B|AB|F1A|F2A|F1B|F2B|2a2a4a.在椭圆x225y2161 中，a225，a5，所以F1AB 的周长为 4a20，故选 C.2.教材习题改编 椭圆 C 的一个焦点为 F1(0，1)，并且经过点P(32，1)的椭圆的标准方程为()Ax24 y231 Bx22 y231Cx2
4、3 y221 Dy24x23 1D 解析 由题意可设椭圆 C 的标准方程为 y2a2x2b21(ab0)，且另一个焦点为 F2(0，1)，所以2a|PF1|PF2|322（11）2322（11）24.所以 a2，又 c1，所以 b2a2c23.故所求的椭圆方程为y24x23 1，故选 D.3.教材习题改编 椭圆 C 的长轴是短轴的 3 倍，则 C 的离心率为()A 63B 23C 33D2 23D 解析 不妨设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，则 2a2b3，即 a3b.所以 a29b29(a2c2)即c2a289，所以 eca2 23，故选 D.4若方程 x25k y2k31
5、表示椭圆，则 k 的取值范围是_解析 由已知得5k0，k30，5kk3，解得 3kb0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B的周长为 4 3，则 C 的方程为()Ax23 y221 Bx23 y21Cx212y281 Dx212y241A(2)(2017徐州模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 PF1PF2，若PF1F2的面积为 9，则 b_3【解析】(1)由题意及椭圆的定义知 4a4 3，则 a 3，又ca c3 33，所以 c1，所以 b22，所以 C 的方程
6、为x23 y221.(2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则r1r22a，r21r224c2，所以 2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2，所以 SPF1F212r1r2b29，所以 b3.若本例(2)中增加条件“PF1F2 的周长为 18”，其他条件不变，求该椭圆的方程解 由本例(2)得 b2a2c29，又 2a2c18，所以 ac1，解得 a5，故椭圆的方程为x225y291.(1)椭圆定义的应用范围 确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆 解决与焦点有关的距离问题(2)焦点三角形的应用 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，
7、利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等 通关练习1设 F1，F2 是椭圆x29 y241 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF1|PF2|21，则PF1F2 的面积为()A4 B6C2 2D4 2A 解析 因为点 P 在椭圆上，所以|PF1|PF2|6，又因为|PF1|PF2|21，所以|PF1|4，|PF2|2，又易知|F1F2|2 5，显然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，故PF1F2 为直角三角形，所以PF1F2 的面积为12244.故选 A.2已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1 内部且和
8、圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为_解析 设动圆 M 的半径为 r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|8b0)，由已知可得抛物线的焦点为(1，0)，所以 c1，又离心率 eca12，解得 a2，b2a2c23，所以椭圆方程为x24 y231.(2)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0b0，n0，且 mn)因为椭圆经过 P1，P2 两点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程，则6mn1，3m2n1，两式联立，解得m19，n13.所以所求椭圆方程为x29 y231.2已知椭圆 C1：x24 y21，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短
9、轴，且与 C1 有相同的离心率则椭圆 C2 的方程为_y216x24 1解析 法一(待定系数法)：由已知可设椭圆 C2 的方程为y2a2x241(a2)，其离心率为 32，故 a24a 32，解得 a4，故椭圆 C2 的方程为y216x24 1.法二(椭圆系法)：因椭圆 C2 与 C1 有相同的离心率，且焦点在 y轴上，故设 C2：y24x2k(k0)，即y24kx2k 1.又 2 k22，故 k4，故 C2 的方程为y216x24 1.椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大高考对椭圆几何性质考查主要有以下三个命题角度：(1)利用椭圆性质求椭
10、圆方程；(2)由椭圆的性质求参数的值或范围；(3)求离心率的值或范围典例引领(1)(2016高考全国卷乙)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A13 B12C23D34(2)已知点 F1，F2 分别是椭圆 x22y22 的左、右焦点，点 P是该椭圆上的一个动点，那么|PF1 PF2|的最小值是()A0 B1C2 D2 2B C【解析】(1)如图，|OB|为椭圆中心到 l 的距离，则|OA|OF|AF|OB|，即 bcab2，所以 eca12.故选 B.(2)设 P(x0，y0)，则PF1(1x0，y0)，PF2(1x0，y0)
11、，所以PF1 PF2(2x0，2y0)，所以|PF1 PF2|4x204y20 2 22y20y202 y202.因为点 P 在椭圆上，所以 0y201，所以当 y201 时，|PF1 PF2|取最小值为 2.(1)求椭圆离心率的方法 直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解 列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2a2c2 消去 b，转化为含有 e 的方程(或不等式)求解(2)利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系 题点通关角度一 利用椭圆性质求椭圆方程1已知中
12、心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于12，则 C 的方程是()Ax23 y241 Bx24 y231Cx24 y221 Dx24 y231D 解析 右焦点为 F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴上；c1.又离心率为ca12，故 a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为x24 y231.角度二 由椭圆的性质求参数的值或范围2.(2017合肥质检)如图，焦点在 x 轴上的椭圆x24 y2b21 的离心率 e12，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PFPA的最大值为_4解析 设 P 点坐标为(x0，y0)由题意知 a2，因为 eca12，所以
13、c1，b2a2c23.故所求椭圆方程为x24 y231.所以2x02，3y0 3.因为 F(1，0)，A(2，0)，PF(1x0，y0)，PA(2x0，y0)，所以PFPAx20 x02y2014x20 x0114(x02)2.即当 x02 时，PFPA取得最大值 4.角度三 求离心率的值或范围3(2016高考全国卷丙)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P 为C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()A13B12
14、C23D34A 解析 设 E(0，m)，则直线 AE 的方程为xa ym1，由题意可知 Mc，mmca，0，m2 和 B(a，0)三点共线，则mmca m2cm2a，化简得 a3c，则 C 的离心率 eca13.直线与椭圆的位置关系典例引领(2016高考全国卷甲)已知 A 是椭圆 E：x24 y231 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN 的面积；(2)当 2|AM|AN|时，证明：3k2.【解】(1)设 M(x1，y1)，则由题意知 y10.由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为4.又 A(2，0
15、)，因此直线 AM 的方程为 yx2.将 xy2 代入x24 y231，得 7y212y0.解得 y0 或 y127，所以 y1127.因此AMN 的面积 SAMN212127 127 14449.(2)证明：将直线 AM 的方程 yk(x2)(k0)代入x24 y231，得(34k2)x216k2x16k2120.由 x1(2)16k21234k2，得 x12（34k2）34k2，故|AM|x12|1k212 1k234k2.由题设，直线 AN 的方程为 y1k(x2)，故同理可得|AN|12k 1k23k24.由 2|AM|AN|，得234k2k3k24，即 4k36k23k80.设 f(
16、t)4t36t23t8，则 k 是 f(t)的零点f(t)12t212t33(2t1)20，所以 f(t)在(0，)单调递增又 f(3)15 3260，f(2)60，因此 f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点 k 在(3，2)内所以 3k2.(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤 联立直线方程与椭圆方程；消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程；当 0 时，直线与椭圆相交；当 0 时，直线与椭圆相切；当 0 时，直线与椭圆相离(2)直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|（1k2）（x1x2）24x1x2 1 1k2（y1y2）24y1y2(
17、k 为直线斜率，k0)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F(c，0)，离心率为 33，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM被圆 x2y2b24 截得的线段的长为 c，|FM|4 33.(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方程解(1)由已知，有c2a213，又由 a2b2c2，可得 a23c2，b22c2.设直线 FM 的斜率为 k(k0)，则直线 FM 的方程为 yk(xc)由已知，有|kc|k212c22b22，解得 k 33.(2)由(1)得椭圆方程为 x23c2 y22c21，直线 FM 的方程为 y 33(xc)，两个方程联立，消去 y，整理得 3x22cx5
18、c20，解得 x53c 或 xc.因为点 M 在第一象限，所以点 M 的坐标为c，2 33 c.由|FM|（cc）22 33 c024 33，解得 c1，所以椭圆的方程为x23 y221.数形结合思想在椭圆求值中的应用 已知椭圆 C：x29 y241，点 M 与 C 的焦点不重合若M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C上，则|AN|BN|_.12【解析】椭圆x29 y241 中，a3.如图，设 MN 的中点为 D，则|DF1|DF2|2a6.因为 D，F1，F2 分别为 MN，AM，BM 的中点，所以|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，所以|AN|BN|2
19、(|DF1|DF2|)12.(1)本题利用了数形结合的思想，把 DF1 和 DF2分别看作MAN 和MNB 的中位线，再结合椭圆定义即可求解(2)在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化 设 F1，F2 分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最大值为_15解析 如图，|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知点 M 在椭圆外，连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为 10|MF2|10（63）24215.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
