1、第3节直线、圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆、圆与圆的位置关系2,8,12直线与圆相切问题1,6,7,13与圆的弦长有关问题3,4,9,10综合应用问题5,11,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则a的值为(B)(A) (B)5 (C)3 (D)3解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5,因为直线与圆相切,所以有=,即a=5.故选B.2.(2018四川遂宁期末)圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2-4x+8y+4=0的位置关系是(B)(A)相交(B)外切(C)内切(D)相离解析:圆C1:x2
2、+y2+2x=0即(x+1)2+y2=1的圆心C1(-1,0),半径等于1.圆C2:x2+y2-4x+8y+4=0化为(x-2)2+(y+4)2=16的圆心C2(2,-4),半径等于4.两圆的圆心距等于=5,而5=1+4,故两圆相外切,故 选B.3.(2018广西南宁、梧州联考)直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为(A)(A)或(B)-或(C)-或(D)解析:由题知,圆心(2,3),半径为2,所以圆心到直线的距离为d=1.即d=1,所以k=,由k=tan ,得=或.故 选A.4.(2017河南师大附中期末)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.
3、设该圆过点(-1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 (B)(A)15 (B)30 (C)45(D)60解析:圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,过点(-1,4)的最长弦AC所在的直线过圆心,故AC=10,过点(-1,4)的最短弦BD所在直线垂直于AC,由勾股定理得BD=6,故四边形ABCD的面积为S=610=30.故 选B.5.已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为(A)(A)(-3,3)(B)(-,-3)(3,+)(C)(-2,2)(D)-3,3 解析:由圆的方程可知圆心为O(0,0),半径为2,因
4、为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d2+1=3,即d=-),则=2a=0或a=-5(舍).所以圆C:x2+y2=4.(2)当直线ABx轴时,x轴上任意一点都满足x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=.若x轴平分ANB,则kAN=-kBN+=0+=02x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0-+2t=0t=4,所以当点N为(4,0)时,能使得ANM=BNM总成立.15.(2018广东汕头期末)在平面
5、直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心在直线x=6上,可设N(6,y0),因为N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1,因此,圆N的标准方程
6、为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=.因为BC=OA=2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25,将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点,所以5-55+5,解得2-2t2+2.因此,实数t的取值范围是2-2,2+2.
