1、第 3 讲 圆的方程第八章 平面解析几何1圆的定义及方程定义平面内与_的距离等于_的点的集合(轨迹)标准方程_(r0)圆心：_，半径：_ 一般方程_(D2E24F0)圆心：_，半径：12 D2E24F定点定长(xa)2(yb)2r2(a，b)rx2y2DxEyF0D2，E22点与圆的位置关系点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系：(1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2_r2.(2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2_r2.(3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2_r2.1辨明两个易误点(1)求圆的方程需要三个独
2、立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程(2)对于方程 x2y2DxEyF0 表示圆时易忽视 D2E24F0 这一条件2求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离(2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形1.教材习题改编 若圆 x2y22axb20 的半径为 2，则点(a，b)到原点的距离为()A1 B2C 2D4B 解析 由 r12 D2E24F 12 4a24b22 得a2b22.所以点(a，b)到原点的距离 d a2b2
3、2，故选 B.2方程 x2y24mx2y5m0 表示圆的充要条件是()A14m1 Bm1Cm1B 解析 由(4m)2445m0，得 m1.3.教材习题改编 圆 C 的直径的两个端点分别是 A(1，1)，B(1，3)，则圆 C 的方程为_解析 因为点 A(1，1)和 B(1，3)为圆 C 直径的两个端点，则圆心 C 的坐标为(0，2)，半径|CA|（21）21 2，所以圆 C 的方程为 x2(y2)22.x2(y2)224已知点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 内，则实数 a 的取值范围是_解析 因为点(1，1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0)，则圆心坐标为D2，E2.由
4、题意可得（6）26EF012（5）2D5EF0，DE20 消去 F 得DE100DE20，解得D6E4，代入求得 F12，所以圆的方程为 x2y26x4y120，标准方程为(x3)2(y2)225.法二：因为 A(0，6)，B(1，5)，所以线段 AB 的中点 D 的坐标为12，112，直线 AB 的斜率 kAB5（6）101，因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y112 x12，即 xy50.圆心 C 的坐标是方程组xy50 xy10的解，解得x3y2，所以圆心 C 的坐标是(3，2)圆的半径长 r|AC|（03）2（62）25，所以，圆心为 C 的圆的标准方程是(x3)2(y2)225.
5、(3)设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2(r0)，根据已知条件得 y04x0，（3x0）2（2y0）2r2，|x0y01|2r，解得x01，y04，r2 2.因此所求圆的标准方程为(x1)2(y4)28.题点通关角度一 求过不共线三点的圆1若不同的四点 A(5，0)、B(1，0)、C(3，3)、D(a，3)共圆，则 a 的值为_7解析 设过 A、B、C 三点的圆的方程为 x2y2DxEyF0，分别代入 A、B、C 三点坐标，得 255DF0，1DF0，993D3EF0，解得D4，E253，F5.所以 A、B、C 三点确定的圆的方程为 x2y24x253 y50.因为 D(a，3)也在此圆
6、上，所以 a294a2550.所以 a7 或 a3(舍去)即 a 的值为 7.角度二 过两点及一条直线确定圆2经过点 A(5，2)，B(3，2)，且圆心在直线 2xy30 上的圆的方程为_(x2)2(y1)210(或 x2y24x2y50)解析 法一：由题意知 kAB2，AB 的中点为(4，0)，设圆心为 C(a，b)，因为圆过 A(5，2)，B(3，2)两点，所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上，则 ba412，2ab30，解得a2，b1，所以 C(2，1)，所以 r|CA|（52）2（21）2 10.所以所求圆的方程为(x2)2(y1)210.法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2
7、，则2ab30，（5a）2（2b）2r2，（3a）2（2b）2r2，解得a2，b1，r 10，故所求圆的方程为(x2)2(y1)210.法三：设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则2545D2EF0，943D2EF0，2D2 E230，解得D4，E2，F5，所以所求圆的方程为 x2y24x2y50.角度三 利用直线与圆的位置关系确定圆3已知圆 C 与直线 yx 及 xy40 都相切，圆心在直线yx 上，则圆 C 的方程为_解析 由题意知 xy0 和 xy40 之间的距离为|4|22 2，所以 r 2；又因为 yx 与 xy0，xy40 均垂直，所以由 yx 和 xy0 联立得
8、交点坐标为(0，0)，由 yx 和 xy40 联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，圆C 的标准方程为(x1)2(y1)22.(x1)2(y1)22 与圆有关的最值问题典例引领(2017河南省豫西五校联考)已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2，3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求n3m2的最大值和最小值【解】由圆 C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r2 2.(1)|QC|（22）2（73）24 2.所以|MQ|max4 22 26 2，|MQ|min4
9、22 22 2.(2)可知n3m2表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30，则n3m2k.由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k72k3|1k22 2.可得 2 3k2 3，所以n3m2的最大值为 2 3，最小值为 2 3.与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如 ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 通关练习1在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 A
10、B 为直径的圆 C 与直线 2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为()A45 B34 C(62 5)D54A 解析 因为AOB90，所以点 O 在圆 C 上 设直线 2xy40 与圆 C 相切于点 D，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2xy40 的距离，所以点 C 在以 O 为焦点，以直线 2xy40 为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|2004|5 45，所以圆 C 的最小半径为 25，所以圆 C 面积的最小值为25245.2已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.(1)求 yx 的最大值和最小值；(2)求 x2y2 的最大
11、值和最小值解 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆(1)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6(如图 1)所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.(2)x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 2)又圆心到原点的距离为（20）2（00）22，所以 x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的最小值是(2 3)274 3.与圆有关的轨迹问题典例引领 已知圆 x2y24 上
12、一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程【解】(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2，2y)因为 P 点在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24.故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)，在 RtPBQ 中，|PN|BN|，设O 为坐标原点，连接 ON(图略)，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨
13、迹方程为 x2y2xy10.求与圆有关的轨迹方程的方法 已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且 A(1，0)，B(3，0)，求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程；(2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程解(1)法一：设顶点 C(x，y)，因为 ACBC，且 A、B、C 三点不共线，所以 x3 且 x1.又 kAC yx1，kBC yx3，且 kACkBC1，所以 yx1 yx31，即 x2y22x30.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(x3 且 x1)法二：设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1，0)，由直角三角形的性质知，|CD|12|AB|2，由圆的定义知，动
14、点 C的轨迹是以 D(1，0)为圆心，2 为半径长的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点)所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(x3 且 x1)(2)设点 M(x，y)，点 C(x0，y0)，因为 B(3，0)，M 是线段 BC的中点，由中点坐标公式得 xx032(x3 且 x1)，yy002，于是有 x02x3，y02y.由(1)知，点 C 在圆(x1)2y24(x3 且 x1)上运动，将x02x3，y02y 代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21(x3 且 x1)因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(x3 且 x1)圆的几何性质在求
15、方程中的妙用 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx26x1 与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆 C 的方程【解】法一：(通性通法)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0，1)，与 x 轴的交点为(32 2，0)，(32 2，0)，设圆的方程是 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则有1EF0，（32 2）2D（32 2）F0，（32 2）2D（32 2）F0，解得D6，E2，F1，故圆的方程是 x2y26x2y10.法二：(巧法妙解)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0，1)，与 x 轴的交点为(32 2，0)，(32 2，0)故可设 C 的圆心为(3，t)，则有 32(t1
16、)2(2 2)2t2，解得t1.则圆 C 的半径为 32（t1）23，所以圆 C 的方程为(x3)2(y1)29.(1)利用几何性质求解圆的方程在历届高考中得到广泛应用，可起到多思少算，减少运算错误的发生(2)常用的几何性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的垂直平分线上；圆心在圆的任一直径上，且为直径的中点；两圆相切时，切点与两圆心三点共线 若已知直线与圆相切，可利用圆心到切线(切点)的距离等于半径来求出半径；若已知弦长、弦心距(弦心距一般可通过圆心到直线的距离求出)，可利用“半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形”来求出半径 已知圆 C 的圆心在直线 yx1 上，则与直线 xy20 相切于点(1，1)的圆 C 的方程是_x122y12212解析 因为圆心在过切点且与切线垂直的直线上，所以圆心在直线 y1x1，即 xy0 上又已知圆心在直线 yx1 上，联立得方程组xy0，yx1，解得x12，y12.故圆心坐标是12，12.所以半径 r11221122 22 或r121222 22.故所求圆的方程为x122y12212.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
