1、 2020-2021学年东营市第二中学高二数学第四周周测第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为( )AB1CD2已知（2，1，3），（1，2，3），（7，6，），若P，A，B，C四点共面，则（ ）A9B9C3D33若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( )ABCD与相交4化简：的值为()A B C D25函数y12sin2是()A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为的偶函数6在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面
2、直线与所成角的余弦值为ABCD7.在中，则的面积为（ ）AB1CD8已知空间直角坐标系中，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）ABCD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9设，是空间一个基底，则( )A若，则 B则，两两共面，但，不可能共面C对空间任一向量，总存在有序实数组(x，y，z)，使D则，不一定能构成空间的一个基底10下列命题中正确的是（ ）A是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面B已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底C若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线D
3、若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为11若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）AB平面平面C三棱锥的体积为 D三棱锥的外接球的表面积为12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段B1C上运动,则()A.直线BD1平面A1C1DB.三棱锥P-A1C1D的体积为定值 C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是45,90D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若，则=_14已知，则 15已知平面的一个法向量，且，则直线与平面所成的角为_16已知A(1
4、,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面yoz所成角的正弦值为_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。l7(本小题满分10分)已知(I)求函数的最小正周期及单调递减区间；(II)求函数在区间的取值范围18(本小题满分12分)在中，内角所对的边分别为.已知，.（）求和的值；（）求的值.19.(本小题满分12分)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1边长为1,下底面ABCD边长为2,侧棱与底面所成的角为60,求异面直线AD1与B1C所成角的余弦值.20.(本小题满分12分)如图所示，在长方体中，、分别是、的中
5、点（1）求证：平面；（2）求证：平面21.(本小题满分12分)如图，在正方体中，E为的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值22. (本小题满分12分)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值2020-2021学年东营市第二中学高二数学第四周周测答案一、 单选题1A 2B 3C 4B5A 6A 7C 8D二、多选题9【答案】BC【解析】对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，所以A选项错误.对于B选项，根据基底的概念可知，两两共面，但，不可能共面.对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.对于D
6、选项，由于，是空间一个基底，所以，不共面.假设，共面，设，化简得，即，所以，共面，这与已知矛盾，所以，不共面，可以作为基底.所以D选项不正确.故选：BC10ABD【解析】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；对于D，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；故选：ABD11CD【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，因为，所以与不垂直，故A错误；，设平面的一个法向量为，则由，得，所以，不妨取，则，所以
7、，同理可得设平面的一个法向量为，故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；在长方体中，平面，故是三棱锥的高，所以，故C正确；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.故选：CD.12.【答案】ABD【解析】对于选项A,连接B1D1,由正方体可得A1C1B1D1,且BB1平面A1B1C1D1,则BB1A1C1,所以A1C1平面BD1B1,故A1C1BD1;同理,连接AD1,易证得A1DBD1,则BD1平面A1C1D,故A正确;对于选项B,因为点P在线段B1C上运动,所以A1DAB,面积为定值,且C1到平面A1PD1的距离即为C1到平面A1B1C
8、D的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确;对于选项C,当点P与线段B1C的端点重合时,AP与A1D所成角取得最小值为60,故C错误;对于选项D,因为直线BD1平面A1C1D,所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大,则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大,则P运动到B1C中点处,即所成角为C1BD1,设棱长为1,在RtD1C1B中,cosC1BD1=,故D正确.三、填空题133 142 15 16.四、解答题17. 解: () 由题意，化简得 所以 函数的最小正周期. 3分 的减区间为由得所以 函数的单调递增区间为. 6分（）因为，所以. 所以.所以 函数在区间上的取值范围是.
9、10分18.（） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值为，的值为.（）解：由（）及，得，所以，.故.19.【解析】设上、下底面中心分别为O1,O,则OO1平面ABCD,以O为原点,直线BD,AC,OO1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,A1B1=1,所以AC=BD=2,A1C1=B1D1=.因为平面BDD1B1平面ABCD,所以B1BO为侧棱与底面所成的角,故B1BO=60.设棱台高为h,则tan60=,h=,所以A(0,-,0),D1,B1,C(0,0),所以,故cos=,故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.20证明：
10、（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在长方体中，、分别是、的中点，1，1，0，平面的法向量可设为，1，平面，平面（2），0，2，2，1，平面21.【详解】（）如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、，设平面的法向量为，由，得，令，则，则.因此，直线与平面所成角的正弦值为.22.解：（1）由题设，知为等边三角形，设，则，所以，又为等边三角形，则，所以，则，所以，同理，又，所以平面；（2）过O作BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，所以，设平面的一个法向量为由，得，令，得，所以故，设二面角的大小为，则.