1、2014-2015学年贵州省遵义市遵义县航天中学高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1已知数列1，则3是它的（）A 第22项B 第23项C 第24项D 第28项2若ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则ABC（）A 一定是锐角三角形B 一定是直角三角形C 一定是钝角三角形D 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a13=S13=13，则a1=（）A 14B 13C 12D 114已知ABC中，a=4，b=4，A=30，则B等于（）A 30B 30或150C 60D 60或1205在数列an中，a1=
2、，an=1（n1），则a2013的值为（）A B 5C D 6某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A B C D 17在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（ab）2+6，C=，则ABC的面积（）A 3B C D 38已知1，a1，a2，8成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，那么的值为（）A 5B 5C D 9在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30、60，则塔高为（）A mB mC mD m10等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+
3、log3a2+log3a10=（）A 12B 10C 8D 2+log3511已知等差数列an，首项a10，a2011+a20120，a2011a20120，则使数列an的前n项和Sn0成立的最大正整数n是（）A 2011B 2012C 4023D 402212定义在（，0）（0，+）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列an，f（an）仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”现有定义在（，0）（0，+）上的如下函数，则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号（）f（x）=x2； f（x）=2x； f（x）=； f（x）=ln|x|A B C D 二、填空题：（每小题5分，共20分
4、）13tan15+tan30+tan15tan30=14已知函数，那么=15在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=3b，则=16ABC中，C=90，M是BC的中点，若，则sinBAC=三、解答题：17数列an满足a1=1，an+1=（nN+）（1）求证是等差数列（要指出首项与公差）；（2）求数列an的通项公式18在ABC中，a=3，b=2，B=2A（）求cosA的值；（）求c的值19在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值20设数列a
5、n满足a1+3a2+32a3+3n1an=，nN*（1）求数列an的通项；（2）设，求数列bn的前n项和Sn21如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？22已知正项数列an的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn=（an+1）2（n=1，2，3），（1）求an的通项公式；（2）设bn=，求bn的前n项和Tn；（3）在（2）的条件下，对任意nN*，Tn都成立，求整数m的最大值201
6、4-2015学年贵州省遵义市遵义县航天中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1已知数列1，则3是它的（）A 第22项B 第23项C 第24项D 第28项考点：数列的概念及简单表示法专题：等差数列与等比数列分析：先化简3=，进而利用通项即可求出答案解答：解：3=，令45=2n1，解得n=233是此数列的第23项故选B点评：理解数列的通项公式得意义是解题的关键2若ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则ABC（）A 一定是锐角三角形B 一定是直角三角形C 一定是钝角三角形D 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：余弦定
7、理的应用；正弦定理的应用专题：计算题；压轴题分析：先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角解答：解：根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t0）c2=a2+b22abcosCcosC=0角C为钝角故选C点评：本题主要考查余弦定理的应用注意与正弦定理的巧妙结合3已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a13=S13=13，则a1=（）A 14B 13C 12D 11考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：设出等差数列的公差，然后由a13
8、=S13=13直接列方程组求解a1解答：解：设等差数列an的公差为d，由a13=S13=13，得：，即解得：a1=11，d=2故选D点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，训练了二元一次方程组的解法，是基础题4已知ABC中，a=4，b=4，A=30，则B等于（）A 30B 30或150C 60D 60或120考点：正弦定理专题：解三角形分析：ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值解答：解：ABC中，a=4，b=4，A=30，由正弦定理可得 ，即 =，解得sinB=再由ba，大边对大角可得BA，B=60或120，故选D点评：本题主要考查
9、正弦定理的应用，以及大边对大角、根据三角函数的值求角，属于中档题5在数列an中，a1=，an=1（n1），则a2013的值为（）A B 5C D 考点：数列的函数特性；数列递推式专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法分析：计算前几项，可得数列an是以3为周期的周期数列，从而可求a2013的值解答：解：，（n1），a2=1+4=5，a3=1=，a4=1=，数列an是以3为周期的周期数列，2013=3671，a2013=a3=故选C点评：本题考查数列递推式，考查周期起来，确定数列an是以3为周期的周期数列是关键6某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生
10、产总值的年平均增长率为（）A B C D 1考点：有理数指数幂的化简求值专题：函数的性质及应用分析：根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论解答：解：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，则a（1+p）（1+q）=a（1+x）2，解得1+x=，即x=1，故选：D点评：本题主要考查指数幂的计算，根据条件建立条件关系是解决本题的关键，比较基础7在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（ab）2+6，C=，则ABC的面积（）A 3B C D 3考点：余弦定理专题：解三角形分析：根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可解答：解：c2=（ab）2+6，c2=a22a
11、b+b2+6，即a2+b2c2=2ab6，C=，cos=，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC=，故选：C点评：本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键8已知1，a1，a2，8成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，那么的值为（）A 5B 5C D 考点：等比数列的性质；等差数列的性质专题：计算题分析：由1，a1，a2，8成等差数列，利用等差数列的性质列出关于a1与a2的两个关系式，联立组成方程组，求出方程组的解得到a1与a2的值，再由1，b1，b2，b3，4成等比数列，利用等比数列的性质求出b12=4，再根据等比数列的性质得到b12=b20，可
12、得出b2小于0，开方求出b2的值，把a1，a2及b2的值代入所求式子中，化简即可求出值解答：解：1，a1，a2，8成等差数列，2a1=1+a2，2a2=a1+8，由得：a1=2a28，代入得：2（2a28）=1+a2，解得：a2=5，a1=2a28=108=2，又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b12=b20，即b20，b22=（1）（4）=4，开方得：b2=2，则=5故选A点评：此题考查了等差数列的性质，以及等比数列的性质，熟练掌握性质是解本题的关键，同时在求b2值时，应先判断得出b2的值小于0，进而开方求出9在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30、60，则塔高为（）
13、A mB mC mD m考点：解三角形的实际应用专题：计算题；解三角形分析：由tan30=得到BE与塔高x间的关系，由tan60=求出BE值，从而得到塔高x的值解答：解：如图所示：设山高为AB，塔高为CD为 x，且ABEC为矩形，由题意得 tan30=，BE=（200x）tan60=，BE=，=（200x），x=（m），故选A点评：本题考查直角三角形中的边角关系，体现了数形结合的数学思想，求出BE值是解题的关键，属于中档题10等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A 12B 10C 8D 2+log35考点：等比数列的性质；对
14、数的运算性质专题：计算题分析：先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5答案可得解答：解：a5a6=a4a7，a5a6+a4a7=2a5a6=18a5a6=9log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质解题的关键是灵活利用了等比中项的性质11已知等差数列an，首项a10，a2011+a20120，a2011a20120，则使数列an的前n项和Sn0成立的最大正整数n是（
15、）A 2011B 2012C 4023D 4022考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a20110，a2012 0，a2011|a2012|，判断出数列的单调性和数列中项的正负，可得a1+a4022=a2011+a20120，a1+a4023=a2011+a2013 =2a20120，再由等差数列的前n项和公式可得S40220，S40230，由此得到结论解答：解：等差数列an中，a10，a2011+a20120，a2011a20120，a20110，a2012 0，a2011|a2012|，即等差数列an首项是正数、公差小于零的递减数列，则前2011项大于零，从2012
16、项起都小于零，a1+a4022=a2011+a20120，a1+a4023=a2011+a2013 =2a2012 0，S4022 =0，S4023 =0，则使Sn0成立的n的最大值为4022，故选：D点评：本题考查等差数列的性质，等差数列的单调性，以及等差数列的前n项和公式的灵活应用，属于中档题12定义在（，0）（0，+）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列an，f（an）仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”现有定义在（，0）（0，+）上的如下函数，则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号（）f（x）=x2； f（x）=2x； f（x）=； f（x）=ln|x|A B C
17、 D 考点：数列的函数特性专题：等差数列与等比数列分析：根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义anan+2=an+12，逐一判断四个函数，即可得到结论解答：解：由等比数列性质知anan+2=an+12，当f（x）=x2时，f（an）f（an+2）=an2an+22=（an+12）2=f2（an+1），故正确；当f（x）=2x时，f（an）f（an+2）=2an2an+2=2an+an+222an+1=f2（an+1），故不正确；当f（x）=时，f（an）f（an+2）=f2（an+1），故正确；f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|ln|an+1|2=f2（an+1
18、），故不正确；则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号是，故选：C点评：本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键二、填空题：（每小题5分，共20分）13tan15+tan30+tan15tan30=1考点：两角和与差的正切函数专题：计算题分析：逆用两角和的正切，即可求得tan15+tan30+tan15tan30的值解答：解：tan15+tan30+tan15tan30=tan（15+30）（1tan15tan30）+tan15tan30=1（1tan15tan30）+tan15tan30=1故答案为：1点评：本题考查两角和的正切，突出考查两角和的正切公式的逆用，属于
19、中档题14已知函数，那么=考点：函数的值专题：计算题；压轴题分析：根据所求关系式的形式可先求f（），然后求出f（x）+f（）为定值，最后即可求出所求解答：解：，f（）=f（x）+f（）=1f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，f（4）+f（）=1，f（1）=故答案为：点评：本题主要考查了函数的值的求解，找出规律进行解题可简化计算，当项数较少时也可逐一进行求解，属于基础题15在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=3b，则=3考点：正弦定理专题：解三角形分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，将结果利用正弦定理化
20、简即可求出所求式子的值解答：解：已知等式bcosC+ccosB=3b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=3sinB，即sin（B+C）=3sinB，整理得：sinA=3sinB，再利用正弦定理化简得：a=3b，则=3故答案为：3点评：此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键16ABC中，C=90，M是BC的中点，若，则sinBAC=考点：正弦定理专题：解三角形分析：作出图象，设出未知量，在ABM中，由正弦定理可得sinAMB=，进而可得cos=，在RTACM中，还可得cos=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sinBAC=，代入化简可得答案解答：解
21、：如图设AC=b，AB=c，CM=MB=，MAC=，在ABM中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得sinAMB=，故cos=cos（AMC）=sinAMC=sin（AMB）=sinAMB=，而在RTACM中，cos=，故可得=，化简可得a44a2b2+4b4=（a22b2）2=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，故在RTABC中，sinBAC=，故答案为：点评：本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题三、解答题：17数列an满足a1=1，an+1=（nN+）（1）求证是等差数列（要指出首项与公差）；（2）求数列an的通项公式考
22、点：数列递推式；等差关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过对an+1=（nN+）变形即得=2，从而可得结论；（2）通过（1）可知：的表达式，取倒数后即得结论解答：（1）证明：an+1=（nN+），=+2，=2，又a1=1，=1，数列是首项为1、公差为2的等差数列；（2）解：由（1）可知：=1+2（n1）=2n1，an=点评：本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题18在ABC中，a=3，b=2，B=2A（）求cosA的值；（）求c的值考点：正弦定理；余弦定理专题：解三角形分析：（ I）由正弦定理得，结合二倍角公式及sinA0即可得解（
23、 II）由（ I）可求sinA，又根据B=2A，可求cosB，可求sinB，利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得sinC，利用正弦定理即可得解解答：解：（ I）因为a=3，b=2，B=2A所以在ABC中，由正弦定理得所以故（ II）由（ I）知，所以又因为B=2A，所以所以在ABC中，所以点评：本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查19在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形
24、分析：（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20又b=5，解得c=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，即可得出a又由正弦定理得即可得到即可得出解答：解：（）由cos2A3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA2=0，即（2cosA1）（cosA+2）=0，解得（舍去）因为0A，所以（）由S=，得到bc=20又b=5，解得c=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故又由正弦定理得点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键20设数列an
25、满足a1+3a2+32a3+3n1an=，nN*（1）求数列an的通项；（2）设，求数列bn的前n项和Sn考点：数列的求和；数列递推式专题：计算题分析：（1）由a1+3a2+32a3+3n1an=当n2时，a1+3a2+32a3+3n2an1=，两式作差求出数列an的通项（2）由（1）的结论可知数列bn的通项再用错位相减法求和即可解答：解：（1）a1+3a2+32a3+3n1an=，当n2时，a1+3a2+32a3+3n2an1=，得3n1an=，所以（n2），在中，令n=1，得也满足上式（2），bn=n3nSn=3+232+333+n3n3Sn=32+233+334+n3n+1，得2Sn=n
26、3n+1（3+32+33+3n），即2Sn=n3n+1点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列21如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？考点：解三角形的实际应用专题：应用题分析：先根据内角和求得DAB和，DBA及进而求得ADB，在ADB中利用正弦定理求得DB的长，进而利用里程除以速度即可求得时间解答：解：由题意知AB=5
27、（3+）海里，DBA=9060=30，DAB=9045=45，ADB=180（45+30）=105，在ADB中，有正弦定理得=DB=10又在DBC中，DBC=60DC2=DB2+BC22DBBCcos60=900DC=30救援船到达D点需要的时间为=1（小时）答：该救援船到达D点需要1小时点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力22已知正项数列an的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn=（an+1）2（n=1，2，3），（1）求an的通项公式；（2）设bn=，求bn的前n项和Tn；（3）在（2）的条件下，对任意nN*，Tn都成立，求整数m的最大值考点：
28、数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由4Sn=（an+1）2，知4Sn1=（an1+1）2（n2），由此得到（an+an1）（anan12）=0从而能求出an的通项公式（2）由（1）知bn=（），由此利用裂项求和法能求出Tn（3）由（2）知Tn=（1），Tn+1Tn=（）0，从而得到Tnmin=T1=由此能求出任意nN*，Tn都成立的整数m的最大值解答：解：（1）4Sn=（an+1）2，4Sn1=（an1+1）2（n2），得4（SnSn1）=（an+1）2（an1+1）24an=（an+1）2（an1+1）2化简得（an+an1）（anan12）=0an0，anan1=2（n2）an是以1为首项，2为公差的等差数列an=1+（n1）2=2n1（2）bn=（）Tn=（1）+（）+（）=（1）=（3）由（2）知Tn=（1），Tn+1Tn=（1）（1）=（）0数列Tn是递增数列Tnmin=T1=，m整数m的最大值是7点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用
