1、第 5 讲 指数与指数函数第二章 基本初等函数、导数及其应用1根式(1)根式的概念若_，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN*.式子_叫做根式，这里_叫做根指数，_叫做被开方数a 的 n 次方根的表示：xnaxn a，当n为奇数且nN*，n1时，x_，当n为偶数且nN*时.xnan anan a(2)根式的性质(n a)na(nN*，n1)n ana，n为奇数，_a，a0，a，a0，m，nN*，且 n1)；负分数指数幂：amn_(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于_，0 的负分数指数幂_(2)有理数指数幂的运算性质aras_(a0，r，sQ)；(ar)s_(
2、a0，r，sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)n am1amn1n am0无意义arsarsarbr3指数函数的图象与性质yaxa10a0 时，_；当 x0 时，_；当 x10y10y11辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等(2)指数函数 yax(a0，a1)的图象和性质与 a 的取值有关，要特别注意区分 a1 或 0a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1，1a.1.教材习题改编 化简(2)612(1)0 的结果为()A9 B7C10D9B2.教材习题改编 设 xx13，则 x2x
3、2 的值为()A9B7C5D3B 解析 因为 xx13.所以(xx1)29，即 x2x229，所以 x2x27.3函数 f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是()Ay 1x By|x2|Cy2x1Dylog2(2x)A 解析 由 f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点(1，1)，又 011，知(1，1)不在 y 1x的图象上4.教材习题改编 若 a1 且 a3x1a2x，则 x 的取值范围为_解析 因为 a1，所以 yax 为增函数，又 a3x1a2x，所以 3x12x，即 x15.15，5若指数函数 y(a21)x 在(，)上为减函数，则实数 a 的
4、取值范围是_ 解析 由题意知 0a211，即 1a22，得 2a1 或 1a1，b1，b0C0a0 D0a1，b0(2)若方程|3x1|k有一解，则k的取值范围为_D01，)【解析】(1)由 f(x)axb 的图象可以观察出函数 f(x)axb在定义域上单调递减，所以 0a1.函数 f(x)axb 的图象是在f(x)ax 的基础上向左平移得到的，所以 b0.(2)函数 y|3x1|的图象是由函数 y3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示 当 k0 或 k1 时，直线 yk 与函数 y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有
5、一解 若将本例(2)变为函数 y|3x1|在(，k上单调递减，则 k的取值范围如何？解 由本例(2)作出的函数 y|3x1|的图象知，其在(，0上单调递减，所以 k(，0 指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 通关练习1函数 f(x)1e|x|的图象大致是()A 解析 将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有 A 满足上述两个性质2若关于 x 的方程|ax1|2a(a0，且 a1)有两个
6、不等实根，则 a 的取值范围是_0，12解析 方程|ax1|2a(a0，且 a1)有两个不等实根转化为函数 y|ax1|与 y2a 有两个交点(1)当 0a1 时，如图，所以 02a1，即 0a12；(2)当 a1 时，如图，而 y2a1 不符合要求 所以 0a12.指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度：(1)比较指数幂的大小；(2)解简单的指数方程或不等式；(3)研究指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围典例引领(1)(2016高考全国卷丙)已知
7、a243，b425，c2513，则()Abac BabcCbcaDcab(2)(2017福州模拟)已知实数 a1，函数 f(x)4x，x0，2ax，x0，若 f(1a)f(a1)，则 a 的值为_(3)若偶函数 f(x)满足 f(x)2x4(x0)，则不等式 f(x2)0的解集为_A 12 x|x4 或 x0【解析】(1)因为 a2431613，b4251615，c2513，且幂函数 yx13在 R 上单调递增，指数函数 y16x 在 R 上单调递增，所以 bac.(2)当 a1 时，41a21，所以 a12；当 a1 时，代入不成立(3)f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)f(x)2x4
8、.所以 f(x)2x4，x0，2x4，x0，当 f(x2)0 时，有x20，2x240 或x20，2x240，解得 x4 或 x0.所以不等式的解集为x|x4 或 x0 有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或 1)(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相
9、关的问题加以解决注意 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论 题点通关角度一 比较指数幂的大小1设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBacbCbacDbcaC 解析 因为指数函数 y0.6x 在(，)上为减函数，所以 0.60.60.61.5，即 ab，又 00.60.61，1.50.61，所以 ac，故选 C.角度二 解简单的指数方程或不等式2(2015高考江苏卷)不等式 2x2x4 的解集为_解析 因为 2x2x4，所以 2x2x 22，所以 x2x2，即 x2x20，所以1x2.x|1x0 且 a1)
10、的函数、方程、不等式问题，通常令 tax(tlogax)进行换元巧解，但一定要注意新元的范围 已知函数 f(x)2a4x2x1.(1)当 a1 时，求函数 f(x)在 x3，0上的值域；(2)若关于 x 的方程 f(x)0 有解，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)24x2x12(2x)22x1，令 t2x，x3，0，则 t18，1.故 y2t2t12t14298，t18，1，故值域为98，0.(2)关于 x 的方程 2a(2x)22x10 有解，等价于方程 2am2m10 在(0，)上有解 记 g(m)2am2m1，当 a0 时，解为 m10，不成立 当 a0 时，开口向下，对称轴 m 14a0.综上所述，a 的取值范围是(0，)本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
