1、第 12 讲 导数与函数的极值、最值第二章 基本初等函数、导数及其应用1函数的极值函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的 函 数 值 都 小，f(a)0；而 且 在 点 x a 附 近 的 左 侧_，右侧_，则点 a 叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值f(x)0f(x)0函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的 函 数 值 都 大，f(b)0；而 且 在 点 x b 附 近 的 左 侧_，右侧_，则点 b 叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称
2、为极值点，极大值、极小值统称为极值f(x)0f(x)02函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则_为函数的最小值，_为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则_为函数的最大值，_为函数的最小值f(a)f(b)f(a)f(b)1辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为 0 的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念2明确两个条件一是 f(x)0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件二是对于可导函数 f(x)，f(x0)
3、0 是函数 f(x)在 xx0 处有极值的必要不充分条件1.教材习题改编 函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点C 解析 设 f(x)的图象与 x 轴的 4 个交点从左至右依次为 x1、x2、x3、x4.当 x0，f(x)为增函数，当 x1xx2 时，f(x)0 时，x3.f(x)0 时，3x3，所以 f(x)在(，3)，(3，)上是增函数，在(3，3)上是减函数 所以 f(x)极大值f(3)54.f(x)极小值f(3)54.故选 B.
4、3.教材习题改编 函数 f(x)13x34xm 在0，3上的最大值为4，则 m 的值为()A7 B283C3 D4D 解析 f(x)x24，x0，3，f(x)0 时，x2，f(x)0 时，0 x0 时，20，x(0，1所以 f(x)在(0，1上是增函数所以 f(x)maxf(1)e.e 函数的极值问题(高频考点)函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：(1)由图判断函数极值的情况；(2)已知函数解析式求极值；(3)已知函数极值求参数值或范围典例引领(1)设函数 f(x)在定义域 R 上可导，其导函数为 f(x)，若函数 y(1x)f(
5、x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D(2)(2016高考山东卷)设 f(x)xln xax2(2a1)x，aR.令 g(x)f(x)，求 g(x)的单调区间；已知 f(x)在 x1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围【解】(1)由题图可知，当 x0；当 x2 时，f(x)0；当2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0.由此可得函数 f(x)在 x2
6、 处取得极大值，在 x2 处取得极小值故选 D.(2)由 f(x)ln x2ax2a，可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，)则 g(x)1x2a12axx.当 a0 时，x(0，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；当 a0 时，x0，12a 时，g(x)0，函数 g(x)单调递增，x12a，时，函数 g(x)单调递减 所以当 a0 时，g(x)的单调增区间为(0，)；当 a0 时，g(x)的单调增区间为 0，12a，单调减区间为12a，.由知，f(1)0.1当 a0 时，f(x)单调递增，所以当 x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增 所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不
7、合题意 2当 0a1，由知 f(x)在0，12a 内单调递增，可得当 x(0，1)时，f(x)0.所以 f(x)在(0，1)内单调递减，在1，12a 内单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意 3当 a12时，12a1，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意 4当 a12时，0 12a0，f(x)单调递增，当 x(1，)时，f(x)12.题点通关角度一 由图判断函数极值的情况1函数 f(x)x3bx2cxd 的大致图象如图所示，则 x21x22等于()A89 B109C169D289C 解析 函数 f(
8、x)的图象过原点，所以 d0.又 f(1)0 且 f(2)0，即1bc0 且 84b2c0，解得 b1，c2，所以函数 f(x)x3x22x，所以 f(x)3x22x2，由题意知x1，x2 是函数的极值点，所以 x1，x2 是 f(x)0 的两个根，所以 x1x223，x1x223，所以 x21x22(x1x2)22x1x24943169.角度二 已知函数解析式求极值2f(x)(2xx2)ex 的极大值为_解析 f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，由 f(x)0，得 x 2或 x 2.由 f(x)0，得 x 2.由 f(x)0，得 2x0，解得 x1；令 f(x)0，解得13
9、x0 时，f(x)0 或 f(x)0 恒成立的充要条件是(4)243a10，即 1612a0，解得 a43.综上，a 的取值范围为43，.函数的最值问题典例引领(2017昆明模拟)已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0，1上的最小值【解】(1)由题意知 f(x)(xk1)ex.令 f(x)0，得 xk1.f(x)与 f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0 f(x)ek1 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当 k10，即 k1 时，f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最
10、小值为 f(0)k；当 0k11，即 1k2 时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(k1)ek1；当 k11，即 k2 时，f(x)在0，1上单调递减，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(1)(1k)e.综上，当 k1 时，f(x)在0，1上的最小值为 f(0)k；当 1k0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在1e，e 上的最大值解(1)f(x)ax2bx，因为函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，所以f（1）a2b0，f（1）b12，解得a1，b12
11、.(2)由(1)知，f(x)ln x12x2，f(x)1xx1x2x，因为当1exe 时，令 f(x)0，得1ex1；令 f(x)0，得 10)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)上的最大值【解】(1)f(x)（2axb）ex（ax2bxc）ex（ex）2 ax2（2ab）xbcex.令 g(x)ax2(2ab)xbc，因为 ex0，所以 yf(x)的零点就是 g(x)ax2(2ab)xbc 的零点，且 f(x)与 g(x)符号相同 又因为 a0.所以当3x0，即 f(x)0，当 x0 时，g(x)
12、0，即 f(x)5f(0)，所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；(2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值 已知函数 f(x)ax3bxc 在 x2 处取得极值为 c16.(1)求 a，b 的值；(2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在3，3上的最小值解(1)因为 f(x)ax3bxc，所以 f(x)3ax2b.由于 f(x)在点 x2 处取得极值 c16，故有f（2）0，f（2）c16，即12ab0，8a2bcc16，解得a1，b12.(2)由(1)知 f(x)x312
13、xc，f(x)3x212.令 f(x)0，得 x12，x22.当 x(，2)时，f(x)0，故 f(x)在(，2)上为增函数 当 x(2，2)时，f(x)0，故 f(x)在(2，)上为增函数 由此可知 f(x)在 x12 处取得极大值 f(2)16c，在 x22 处取得极小值 f(2)c16.由题设条件知 16c28，得 c12，此时 f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此 f(x)在3，3上的最小值为 f(2)4.利用导数求函数的最值(本题满分 12 分)已知函数 f(x)ln xax(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1，2上的
14、最小值思维导图(1)f(x)1xa(x0)，当 a0 时，f(x)1xa0，即函数 f(x)的单调增区间为(0，)(2 分)当 a0 时，令 f(x)1xa0，可得 x1a，当 0 x0；当 x1a时，f(x)1axx0，故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，.(4 分)(2)当1a1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1，2上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)ln 22a.(5 分)当1a2，即 0a12时，函数 f(x)在区间1，2上是增函数，所以 f(x)的最小值是 f(1)a.(6 分)当11a2，即12a1时，函数f(x)在1，1a 上是增函数，在1a，2上是减函数又 f(2)f(1)ln 2a，所以当12aln 2 时，最小值是 f(1)a；当 ln 2a1 时，最小值为 f(2)ln 22a.(10 分)综上可知，当 0aln 2 时，函数 f(x)的最小值是a；当 aln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 22a.(12 分)(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间1，2上的最值，属常规题型(2)本题的难点是分类讨论考生在分类时易出现不全面，不准确的情况(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放