1、二用数学归纳法证明不等式举例1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧2.理解贝努利不等式3能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证明1数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤证明：当n取第一个值n0时结论成立；假设当nk(kN，且kn0)时结论成立，证明当nk1时结论也成立由可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立(2)用数学归纳法证明不等式的重点用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f(k)g(k)成立，证明f(k1)g(k1)成立2贝努利不等式(1)定义：如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，那么有(
2、1x)n1nx(2)贝努利不等式的一般形式当是实数，并且满足1或1)；当是实数，并且满足01)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN)”，第一步的验证为2111212.()(2)设x1，且x0，n为大于1的自然数，则(1x)n”，当n1时，不等式左边的项为.()答案：(1)(2)(3)2用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边应()A增加了一项B增加了两项C增加了B中两项但减少了一项D以上各种情况均不对答案：C3用数学归纳法证明：12(n2，nN)时第一步需要证明()A12B12C12D12答案：C4用数学归纳法证明“11)”时，
3、由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是_解析：左边的特点：分母逐项增加1，末项为；由nk，末项为到nk1，末项为，所以应增加的项数为2k.答案：2k用数学归纳法证明有关函数中的不等关系已知f(x).对于nN，试比较f()与的大小并说明理由【解】据题意f(x)1，所以f()1，又1，所以要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，当n1时，212121，当n2时，22422，当n3时，2385225，当n6时，26646236.故猜测当n5(nN)时，2nn2，下面用数学归纳法加以证明(1)当n5时，命题显然成立(2)假设nk(k5，且kN)时，不等式成立即2kk2(
4、k5)，则当nk1时，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2，(k1)22)由(1)(2)可知，对一切n5，nN，2nn2成立综上所述，当n1或n5时，f()；当n2或4时，f()；当n3时，f().利用数学归纳法解决比较大小问题的方法利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立 已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由解：231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，猜想成立；假设当nk(k1，kN
5、)时猜想成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，猜想也成立由，知，对任意nN*，都有an2n1，即1an2n.所以.所以12n1.当n2时，左边9，右边5，左边右边，不等式成立假设nk(k2，kN)时，3k2k1，则nk1时，3k133k3(2k1)6k32(k1)1，所以nk1时不等式成立根据可知：当n2时，3n2n1.综上可知，3n2n1对于nN*成立，所以(3n1)WnnWn1(nN*)利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1的变形为了满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但
6、是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难点一是要仔细观察题目结构，二是要用分析法找到放缩的结果，才能顺利地证题 已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn10(n2)(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明SSS(n1且nN)解：(1)是等差数列，证明如下：S1a1，所以2.当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.所以2.故是以2为首项，2为公差的等差数列(2)证明：当n1时，S，不等式成立假设nk(k1，kN)时，不等式成立，即SSS成立，则当nk1时，SSSS1nx成立的两个条件：nN且n2；x的取值范围是x1且x0.于是有命题：当nN且n2时不等式(1
7、x)n1nx对一切x(1，0)(0，)恒成立(2)常用特例：当x1且x0时，(1x)212x；当x1且x0时，(1x)313x.【规范解答】归纳猜想证明(本题满分12分)设f(n)nn1，g(n)(n1)n，nN.(1)当n1，2，3，4时，比较f(n)与g(n)的大小；(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明【解】(1)当n1时，nn11，(n1)n2，此时，nn1(n1)n，当n2时，nn18，(n1)n9，此时，nn1(n1)n，当n4时，nn11 024，(n1)n625，此时，nn1(n1)n.(2分)(2)根据上述结论，我们猜想：当n3时，nn1(n1)n(nN*)恒成
8、立(4分)证明如下：当n3时，nn13481(n1)n4364，即nn1(n1)n成立(5分)假设当nk(k3，kN)时，kk1(k1)k成立，即1，(6分)则当nk1时，(k1)(k1)1，(10分)即(k1)k2(k2)k1成立，即当nk1时不等式也成立，(11分)所以当n3时，nn1(n1)n(nN)恒成立(12分)归纳猜想证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳猜想证明”这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察归纳猜想证明”的思想方法1用数学归纳法证
9、明：12(n2，nN)证明：当n2时，12，不等式成立假设当nk(k2，且kN)时不等式成立，即12，当nk1时，12222，即当nk1时，不等式也成立由知原不等式在n2且nN时均成立2已知m，n为正整数，对于n6，已知，利用贝努利不等式求证：0，于是成立时，起始值n0至少应取()A7B8C9 D10解析：选B.1，n16，n7，故n08.2设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出的一般结论为()Af(2n)(n1，nN*)Bf(n2)(n1，nN*)Cf(2n)(n1，nN*)D以上都不对解析：选C.f(2)，f(4)f
10、(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，依此类推可知f(2n)(n1，nN*)3观察下列不等式：1，11，1，12，1，由此猜测第n(nN)个不等式为()A1B1C1D1解析：选C.因为1，3，7，15，31，的通项公式为an2n1，所以不等式左边应是1.因为，1，2，的通项公式为bn，所以不等式右边应是.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)4
11、9成立，则当k8时，均有f(k)42，因此对于任意的k4，均有f(k)k2成立5对于正整数n，下列说法不正确的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n1，且x0，n1，nN)判断当x2时，(12)n12n，A正确当x0.1时，(10.1)n10.1n，B正确，C不正确当x0.9时，(10.9)n10.9n，因此D正确6用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立之后，证明nk1时，应推证的目标不等式是_解析：把nk时的不等式中的k换成k1，得.答案：7在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立，猜想在n边形A1A2An中，类似成立的不等式为_
12、解析：n3时，不等式为，n4时，不等式为，n5时，不等式为，猜想.答案：8若不等式对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为_解析：令f(n)，易知f(n)是单调递增的所以f(n)的最小值为f(2).依题意，所以mk3(k1)2，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.由可知ann2对一切nN*都成立10设aR，f(x)是定义在R上的奇函数(1)求a的值；(2)如果g(n)，试比较f(n)与g(n)的大小(nN)解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，故a1.(2)f(n)g(n).只要比较2n与2n1的大小当n1，2时，2n2n1，f(n)2n1，f(n)g(n)
13、下面证明，n3时，2n2n1，即f(n)g(n)当n3时，23231，显然成立，假设nk(k3，kN)时，2k2k1，那么nk1时，2k122k2(2k1)2(2k1)2(k1)14k22k32k10(因为k3)，有2k12(k1)1.所以当n1，2时，f(n)g(n)B能力提升1已知xR，不等式x2，x3，可推广为xn1，则a的值为()A2n Bn2C22(n1) Dnn解析：选D.由已知中不等式：x2，xx3，xx4，归纳可得，不等式左边第一项为x，第二项为，右边为n1，故第n个不等式为xn1，故ann，选D.2设a，b均为正实数，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关
14、系为_(提示：利用贝努利不等式，令x)解析：由贝努利不等式(1x)n1nx(x1，且x0，n1，nN)，当n1时，令x，所以1n，所以1n，即(ab)nannan1b.当n1时，MN，故MN.答案：MN3设xn，yn，n1，2，求证xnxn1，yn1yn.证明：先证xn11，即1，故.故xnxn1.再证yn111，即1，1，即，.故yn1yn.4设数列an满足a10，an1ca1c，nN，其中c为实数(1)证明：an0，1对任意nN成立的充分必要条件是c0，1；(2)设0c，证明：an1(3c)n1，nN.证明：(1)必要性：因为a10，所以a21c.因为a20，1，所以01c1，即c0，1充分性：设c0，1，对nN用数学归纳法证明an0，1当n1时，a100，1假设ak0，1(kN，k1)，则ak1ca1cc1c1，且ak1ca1c1c0，故ak10，1由数学归纳法，知an0，1对所有的nN成立综上，可得an0，1对任意nN成立的充分必要条件是c0，1(2)设0c，当n1时，a10，结论成立当n2时，因为anca1c，所以1anc(1a)c(1an1)(1an1a)因为0c，由(1)知an10，1，所以1an1a3，且1an10.所以1an3c(1an1)所以1an3c(1an1)(3c)2(1an2)(3c)n1(1a1)(3c)n1.所以an1(3c)n1(nN)
