1、第3节空间点、直线、平面的位置关系 【选题明细表】知识点、方法题号平面的基本性质5、10线、面位置关系1、3、7共点、共面问题2、8、9、12、13异面直线所成的角4、6、11、14一、选择题1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(A)(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件解析:两直线异面两直线没有公共点,反之不然,所以“两直线异面”是“这两直线没有公共点”的充分不必要条件,故选A.2.以下四个命题中,正确命题的个数是(B)不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则A
2、、B、C、D、E共面;若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;依次首尾相接的四条线段必共面(A)0(B)1(C)2(D)3解析:中,假设存在三点共线,则这四点必共面,与题设矛盾,故正确;中,若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E有可能不共面,故错误;中,如图所示正方体的棱中,a、b共面,a、c共面,而b、c异面,故错误;中,空间四边形的四条线段不共面,故错误,故选B.3.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是(D)(A)平行(B)异面(C)相交(D)平行、异面或相交解析:经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现,故选D.4.将正
3、方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD平面CBD,E是CD的中点,则异面直线AE与BC所成角的正切值为(A)(A)(B)(C)2(D)解析:如图所示正方形ABCD及折叠后图形,取BD中点O,连接OE、AO,则OEBC,则AEO就是异面直线BC与AE所成的角(或其补角),设正方形边长为2,则OE=1,AO=,由平面ABD平面CBD,平面ABD平面CBD=BD,AODB,知AO平面BDC,则AOEO.在RtAOE中,tanAEO=.故选A.5.已知A、B是两个不同的点,m、n是两条不重合的直线,、是两个不重合的平面,则m,AmA;mn=A,A,BmB;m,n,mn;m,m.其中真命题为(C)(
4、A)(B)(C)(D)解析:根据平面的性质,可知正确,中不能确定B,中与可能平行、也可能相交,中根据面面垂直判定定理可知正确,故为真命题.故选C.6.(2013唐山统考)四棱锥PABCD的所有侧棱长都为,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角的余弦值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:如图在四棱锥PABCD中,CD与PA所成的角即是AB与PA所成的角,即PAB,取AB中点M,连接PM.在RtPAM中,PA=,AM=1,所以cosPAB=.故选B.二、填空题7.下列命题中不正确的是.(填序号)没有公共点的两条直线是异面直线;分别和两条异面直线都相交的两直线异面;一条直线和两条异面直
5、线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.解析:没有公共点的两直线平行或异面,故错;如果与两异面直线中一条交于一点,则两直线相交,故命题错;命题:若cb,又ca,则ab,这与a,b异面矛盾,故c、b不可能平行,正确;命题正确,若c与两异面直线a,b都相交,由公理2可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面.答案:8.对于空间三条直线,有下列四个条件:三条直线两两相交且不共点;三条直线两两平行;三条直线共点;有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中使三条直线共面的充分条件有.解析:易知中的三条
6、直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故错;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故错;中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.答案:9.下列如图所示的是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是.(填上图形的序号)解析:图中,由于PSQR,所以P、Q、R、S四点共面;图中,如图,容易知道,PMQNRS为六边形,所以图中四点共面;图中,易证PQRS,所以图中四点共面;图中,Q点所在棱与平面PRS平行,因此四点不共面.综上可知,四点共面的图形有.答案:10.如图所示,在三棱锥A
7、BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.解析:易知EHBDFG,且EH=BD=FG,同理EFACHG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需ACBD.答案:AC=BDACBD11.如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,AA1=a,BAB1=B1A1C1=30,则AB与A1C1所成的角为,AA1与B1C所成的角为.解析:ABA1B1,B1A1C1是AB与A1C1所成的角,A
8、B与A1C1所成的角为30.AA1BB1,BB1C是AA1与B1C所成的角,由已知条件可以得出BB1=a,AB1=A1C1=2a,AB=a,B1C1=BC=a,四边形BB1C1C是正方形,BB1C=45.答案:3045三、解答题12.如图所示 ,在四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DFFC=DHHA=23.求证:EF、GH、BD交于一点.证明:连接GE,FH.因为E、G分别为BC、AB的中点,所以GEAC,且GE=AC,又因为DFFC=DHHA=23,所以FHAC,且FH=AC.所以FHGE,且GEFH.所以E、F、H、G四点共面,且四边形EFHG是一
9、个梯形.设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两个平面的交线上.因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF、GH、BD交于一点.13.如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC的延长线交于点K,求证:M、N、K三点共线.证明:MPQ,直线PQ平面PQR,MBC,直线BC平面BCD,M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上.又如果两个平面
10、有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以M、N、K三点共线.14.点A是BCD所在平面外的一点,E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若ACBD,AC=BD,求EF与BD所成的角.(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.(2)解:如图所示,取CD的中点G,连接EG、FG,则EGBD,FGAC,所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角.又由FGAC,ACBD,AC=BD知EGF为等腰直角三角形,则FEG=45,即异面直线EF与BD所成的角为45.
