1、广东广雅中学 20142015 学年度上学期高三 10 月月考 数学（理科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。【注意事项】1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。2选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用 2B
2、 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合2|20MxZ xx,2|20,Nx xxxR,则MN A 0 B0,2 C2,0 D2,0,2 2若复数155zi，23zi ，则12zz A42iB2iC12iD33下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是Aln(1)yxB1yx C1()2xy D1yxx4 已知31sin()23，则cos2 A79B 79C13D 135设m
3、n、是两条不同的直线，、是两个不同的平面,下列命题中错误的是A 若m,/mn,/n,则B若,m,m,则/mC若m,m,则D若,m,n,则mn6巳知双曲线G 的中心在坐标原点，实轴在 x 轴上，离心率为52，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之差为 12，则双曲线G 的方程为A192522 yx B193622 yx C193622 yx D183622 yx7在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组0222xyxy 给定若(,)M x y 为 D 上的动点，点 A 的坐标为(2,1)，则|AM 的最大值为A4 2 B3 2 C 3 D38若 X 是一个集合，是一个以 X 的某些子集为
4、元素的集合，且满足：X 属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于 则称 是集合 X 上的一个拓扑已知集合Xabc，对于下面给出的四个集合：aca b c ，；bcb ca b c ，；aa ba c ，；a cb cca b c ，其中是集合 X 上的拓扑的集合 的序号是A.B.C.D.二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）9.计算0(cos1)xdx10函数ln()(0)xf xxx的单调递增区间是11执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出 s 的值为 _.12曲线xye过点(0,0)的切
5、线方程为13某同学为研究函数22()11(1)(01)f xxxx=+-01)x的性质，构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC，点 P 是边 BC 上的一个动点，设CPx=，则()APPFf x+=请你参考这些信息，推知函数()f x 的值域是（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2,(,xttyt 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的方程为sin1，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_ 15(几何证明选讲选做题)如图所示，圆O 的直径6
6、AB，C为圆周上一点，3BC，过C 作圆的切线l，过 A 作l 的垂线 AD，垂足为 D，则线段CD 的长为第 13 题图第15题图开始输入n1,1isin(1)ssi 1ii 输出 s结束是否第 11 题ODCBAD1C1B1A1三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分 12 分）已知函数)cos()(xAxf（0A,0,02）的图象与 y 轴的交点为)1,0(，它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0 x和)2,2(0 x(1)求函数)(xf的解析式；(2)若锐角 满足22(2)33f，求)2(f的值 1
7、7.（本小题满分 12 分）每年 5 月 17 日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠 200 元，选择套餐二的客户可获得优惠500 元，选择套餐三的客户可获得优惠 300 元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1)求某两人选择同一套餐的概率；(2)若用随机变量 X 表示某两人所获优惠金额的总和，求X 的分布列和数学期望.18.（本小题满分 14 分）如 图，在 四 棱 柱1111ABCDABC D中，侧 面11ADD A 底 面 A B C D，112D AD D，底 面 A B
8、C D为 直 角 梯 形，其 中/,B CA DA BA D，222ADABBC，O 为 AD 中点.(1)求证：1/AO平面1ABC；(2)求锐二面角CDCA11的余弦值 第 16 题图套餐1套餐2套餐3套餐种类频率1/83/81/219（本小题满分 14 分）已知数列na满足0aR，123,(0,1,2,)nnnaan(1)设,2nnnab 试用0,an 表示nb（即求数列 nb的通项公式）；(2)求使得数列na递增的所有oa 的值 20.（本题满分 14 分）已知椭圆22221(0)xyabab经过点3(3,)2，且椭圆的离心率12e(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点 F 作两条互
9、相垂直的直线，分别交椭圆于点,A C 及,B D，设线段AC，BD 的中点分别为,P Q 求证：直线 PQ 恒过一个定点 21.（本题满分 14 分）已知函数2()lnf xxx.(1)若函数()()g xf xax在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，且1a，3()3xxh xeae，0,ln2x，求()h x 的极小值；(3)设2()2()3F xf xxk（k R），若函数()F x 存在两个零点,(0)m nmn，且满足02xmn，问：函数()F x 在00(,()x F x处的切线能否平行于 x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.广东广雅中学
10、20142015 学年度上学期高三 10 月月考 数学（理科）试题参考答案及评分标准 命题：杨志明 统审：赖淑明 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.题号 12345678答案 A C AADBCD二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分9.10.(0,e（或(0,)e）11.15 12.yex13.5,21+14.1,115.3 32一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.1A.【解析】易得2,1,0M ,0,2N,所以MN 0,故选 A2C【解析】1222555(1)(3)5(24)123(3)(
11、3)31ziiiiiziii 3A【解析】B、C 为减函数，D 为双钩函数，双钩函数在(0,)上先减后增.4A解析：31sin()cos23，即1cos3 ，27cos22cos19 5D解析】ABC 是正确命题,选 D6B【解析】25e，122 a，6a，3b，则所求双曲线方程为193622 yx.7C作出可行域 D，由图像知，当点 M 的坐标为(0,0)或(0,2)时，|AM 的最大值为 3 8D.解析：不是拓扑，因为 a，c，但 ac；是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；不是拓扑，因为全集,Xa b c；是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足二、填空题：9 .解：00(cos1)(sin)
12、|xdxxx10【解析】(0,e 221ln1 ln()0 xxxxfxxx，即1 ln0 x，ln1lnxe，即0 xe.11 15.解析：第一次循环后:3,2si；第二次循环后:6,3si；第三次循环后:10,4si；第四次循环后:15,5si；故输出 15.12yex，解析：设切点为00(,)xx e，则切线为000()xxyeexx，把(0,0)代入上式，得01x ，故切线方程为 yex13 5,21+解 析：根 据 图 形 可 知，当12x=时（点 P 在 BC 中 间），22min()215f xAF=+=，当0 x=或1x=时（点 P 在 B 点或 C 点），max()21f x
13、=+，()f x 的值域是 5,21+141,1.考查极坐标方程.212:,:1Cyx Cy，联立方程很快得出结果153 32.解：在 Rt ABC中，6,3ABBC，故1sin2BCBACAB，故30BAC，2222633 3ACABBC.由 l 是圆 O 的切线知，ABCACD，故Rt ABCRt ACD，3 3 33 3,62CDACBC ACCDBCABAB.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.解：（1）由题意可得2A，22 T即24T，213 分)21cos(2)(xxf，1)0(f由21cos且02，得35 分函数)321cos
14、(2)(xxf6 分（2）由于22(2)33f，即1cos3 且 为锐角，所以322sin 8 分 )2(f)3sinsin3cos(cos2)3cos(210 分)233222131(23621即)2(f的值为12 6312 分 17.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.解：(1)由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1 11 13 3138 82 28 832P.4 分(2)由题意知某两人可获得优惠金额 X 的可能取值为 400，500，600，700，800，1000.1 11(400)8 864P X，121
15、36(500)8 864P XC3 39(600)8 864P X，121 18(700)8 264P XC121 324(800)2 864P XC，1 116(1000)2 264P X 8 分综上可得 X 的分布列为：10 分169824164005006007008001000775646464646464EX.即 X 的数学期望为 775.12 分 X4005006007008001000P16466496486424641664zyxODCBAD1C1B1A1A1B1C1D1ABCDO18.(1)证明：如图，连接,COAC，则四边形 ABCO 为正方形，所以11OCABAB，且11
16、/OCABAB，2 分故四边形11ABCO 为平行四边形，所以11/AOBC 4 分又1AO 平面1ABC，1BC 平面1ABC，所以1/A O平面1ABC.6 分(2)因为11 ,D AD DO为 AD 的中点，所以1DOAD，又侧面11ADD A 底 面 A B C D，交 线 为 AD，故1D O 底 面ABCD。7 分 以O 为原点，所1,OCODOD 在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的坐标系，则1,0,0 ,0,1,0 ,CD1 0,0,1 ,0,1,0DA，11,1,0 ,0,1,1 ,DCDD1110,1,1 ,1,1,0D AD CDC，8 分 设,mx y z
17、为 平 面11CDDC的 一 个 法 向 量，由1,mDCmDD，得00 xyyz，令1z ，则1,1,1,1,1yxm 10 分 又设111,nx y z为平面11AC D 的一个法向量，由111,nD AnD C，得111100yzxy，令11z ，则111,1,1,1,1yxn ，12 分 则1 1 11cos,333m n ，故所求锐二面角CDCA11的余弦值为 13 14 分 注：第 2 问用几何法做的酌情给分 19解：（1）1131,22 22nnnnaa 1 分即131,22nnbb 变形得，1131(),525nnbb 3 分若0105a，则15nb 4 分若0105a，则数列
18、15nb 是以015a 为首项的，32为公比的等比数列5 分故0113()()552nnba，因而，0113()()552nnba；6 分（2）法一：11101124()(3)55nnnnaaa7 分n 为奇数时，11101124()355nnnnaaa，令10nnaa，8 分得1101124()355nna，即101124()()553na对所有的正奇数恒成立，9 分因为112()53ny对nN 单调递减，所以014()05a，即015a。10 分n 为偶数时，11101124()355nnnnaaa，令10nnaa，11 分得1101124()355nna，即101124()()553na
19、对所有的正偶数恒成立，12 分因为112()53ny对nN 单调递减，所以014()05a，即015a。13 分综上，015a 时，数列na递增。14 分法二：由（1）知0113()()2552nnnaa，从而011322()()552nnnnaa0112()(3)55nna，7 分故1024013()()110352nnnnaaa，8 分设0401()35Aa，则123()1102nnnnaaA，下面说明015a，9 分讨论：若015a，则 A0,此时对充分大的奇数 n，3()102nA，有1nnaa，这与na，递增的要求不符；13 分若015a，则 A=0，12010nnnaa，始终有1n
20、naa。综上，015a。14 分注意：直接研究通项，只要言之成理也相应给分。20.解：(1)由12cea，得2214ca，即222244()acab，即2234ab 1 分 由椭圆过点3(3,)2知，223314ab 2 分 联立（1）、（2）式解得224,3ab。3 分故椭圆的方程是22143xy 4 分(2)直线 PQ 恒过一个定点 4(,0)7 5 分证明 椭圆的右焦点为(1,0)F，分两种情况1当直线 AC 的斜率不存在时，AC:1x，则BD:0y 由椭圆的通径易得(1,0)P，又(0,0)Q，此时直线 PQ 恒过一个定点4(,0)7；6 分 2当直线 AC 的斜率存在时，设 AC:(
21、1)(0)yk xk，则 BD：1(1)yxk 又设点1122(,),(,)A x yC x y联立方程组22(1),3412,yk xxy消去 y 并化简得2222(43)84120kxk xk，8 分所以2122843kxxk212122286(2)(2)4343kkyyk xxkkk 22243(,)4343kkPkk10 分由题知，直线 BD 的斜率为1k，同理可得点2243(,)4343kQkk11 分2222223374343444(1)4343PQkkkkkkkkkk 222374()434(1)43kkyxkkk，12 分即24(74)40ykxky令 40,740,40yxy
22、，解得4,07xy故直线 PQ 恒过一个定点 4(,0)7；13 分综上可知，直线 PQ 恒过一个定点 4(,0)714 分21（本题满分 14 分）解：(1)21()()ln,()2.g xf xaxxxax g xxax 由题意，知()0,(0,)g xx 恒成立，即min1(2)axx.2 分 又10,22 2xxx，当且仅当22x 时等号成立.故min1(2)2 2xx，所以2 2a.4 分（）由（）知，12 2.a令xet，则1,2t，则3()()3.h xH ttat 2()333()().H ttata ta 5 分 由()0H t，得ta或ta（舍去），34(1,2 2,1,2
23、 aa，若1ta，则()0,()H tH t单调递减；()h x 在(0,lna 也单调递减；若2at，则()0,()H tH t单调递增.()h x 在ln,ln 2a也单调递增；故()h x 的极小值为(ln)2haa a.8 分(3)法一：设()F x 在00(,()x F x的切线平行于 x 轴，其中2()2lnF xxxk结合题意，222ln0;2ln0m mknnk,相 减 得 2 l n()()0mmnmnn ，即22 l n()mmnmnnmn.9 分 000002()20,1(0)F xxxxx,又022mnx,所以2(1)2()ln.1mmmnnmnmnn 设(0,1)mu
24、n，2(1)ln0(0,1).1uuuu 11 分 设2(1)ln(0,1)1uyuuu，2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)uuuuuyuuu uu u 所以函数2(1)ln1uyuu在(0,1)上单调递增，因此，1|0uyy，即2(1)ln0.1uuu也就是，2(1)ln1mmnmnn，13 分 所以2(1)2()ln.1mmmnnmnmnn无解.所以()F x 在00(,()x F x处的切线不能平行于 x 轴.14 分 法二：分析：即证是否存在02mnx使0()0F x，因为0 x 时()yF x单调递减，且(1)0F，所以即证是否存在02mnx使01x 。
25、即证否存在,m n 使2mn。证明：2()2lnF xxxk.2(1)(1)()22xxF xxxx()()xF xF x、的变化如下：x(0,1)1(1,)()F x0()F x即()yF x在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减。又()()0F mF n且0mn所以01mn。10 分构造函数()()(2)G xF xFx，其中01x即22()(2ln)2ln(2)(2)G xxxxx2ln2ln(2)44xxx22()42G xxx2(1)40(2)xxx，当且仅当1x 时()0G x，故()yG x在(0,1)单调增，所以()(1)0G xG。12 分所以01x 时，()(2)F xFx。又01mn，所以()(2)F mFm，所以()()(2)F nF mFm。13 分因为2(1,)nm、，所以根据()yF x的单调性知2nm，即12mn。又2()2F xxx在(0,)单调递减，所以0()()(1)02mnF xFF.即函数()F x 在00(,()x F x处的切线不能平行于 x 轴。14 分
