1、第二章解三角形2 三角形中的几何计算内 容 标 准学 科 素 养1.掌握利用正、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题.3.掌握综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题的方法.严密逻辑推理提升数学运算函数方程思想01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 三角形的面积公式预习教材 P5455，思考并完成以下问题如图，在ABC 中，边 BC、CA、AB 上的高分别记为 ha，hb和 hc.(1)你能用ABC 的边角分别表示 ha，hb，h
2、c吗？提示：habsin Ccsin B.hbcsin Aasin C.hcbsin Aasin B.(2)你能用边 a 与高 ha表示ABC 的面积吗？提示：SABC12aha12absin C12acsin B.知识梳理 已知ABC 中，a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，其面积为 S，则 S_12absin C12bcsin A12casin B变形探究三角形面积公式的其他形式：(1)SABCabc4R，其中 R 为ABC 的外接圆半径；(2)SABC2R2sin Asin Bsin C，其中 R 为ABC 的外接圆半径；(3)SABC12(abc)r，其中 r 为ABC 的内切圆半
3、径；(4)SABC p（pa）（pb）（pc），其中 pabc2.知识点二 三角形中的常用结论知识梳理 三角形中常用的结论(1)abc，bca，cab.(2)abc，bca，acb.(3)ABC.(4)abABsin Asin B.(5)abAB.(6)A 为锐角cos A0a2b2c2；A 为钝角cos A0a2b2c2；A 为直角cos A0a2b2c2.(7)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C.(8)sin AB2cos C2，cos AB2sin C2.(9)三角形中最大内角的取值范围是3，最小内角的取值范围是0，3.自我检测1在ABC 中，A60，AB1，AC2，则
4、SABC 的值为()A.12B.32C.3D2 3解析：SABC12ABACsin Asin 60 32.故选 B.答案：B2ABC 中，若 A60，b16，此三角形的面积 S220 3，则 a 的值为()A20 6B25 C55 D49解析：由12bcsin A220 3，c55.又 a2b2c22bccos A2 401.a49.故选 D.答案：D3等腰ABC 中，顶角 A120，腰长 AB1，则底边 BC 长为_解析：易知BC30，由正弦定理知：BCsin 1201sin 30，BC 3.答案：3探究一 与长度有关的问题 阅读教材 P54 例 1 及解答如图所示，在梯形 ABCD 中，A
5、DBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45.求BD 的长题型：与长度有关的问题方法步骤：利用正弦定理求 sin ABC.利用补角性质求 sin BAD.利用正弦定理求 BD 的长例 1 如图所示，在四边形 ABCD 中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求 BC 的长解题指南 由余弦定理求得 BD，再由正弦定理求出 BC 的值解析 在ABD 中，设 BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即 142x2102210 xcos 60，整理得 x210 x960，解得 x116，x26(舍去)由正弦定理得BCsin CDBBDsin BCD，BC16sin 1
6、35sin 308 2.方法技巧 与长度有关的问题解决方法解与长度有关的问题时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解跟踪探究 1.设 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到点 A，B，C 的距离分别是 1，2，3，求正方形 ABCD 的边长解析：设边长是 x(1x3)，ABP，则CBP90，在ABP 中，由余弦定理得：cosABPx222124xx234x，同理在CBP 中，cos
7、CBPx254x，由ABPCBP90得：cos2ABPcos2CBP1，即有：x234x2x254x21，解上式，得所求的边长为 52 2.探究二 与面积有关的问题 阅读教材 P56A 组第 6 题如图，ABC 中，ABAC3，BC2，B 的平分线交过点 A 且与 BC 平行的线于 D，求ABD 的面积解题指南 求ABD 的面积，只需求出其底和高的长度即可解析 作 BC 边上的高 AE(图略)，则 AE2 2.SABCBCAE2 22 22 2 2.BM 平分ABC，设 M 为 BD 与 AC 的交点CMMABCBA23.则SBCMSABM23.且 SBCMSABMSABC2 2.SBCM4
8、25，SBAM6 25.BCAD，CBDADB，ADBABD，ABAD3.BCAD，ADMBCM，SADMSBCMADBC 94.得 SADM94SBCM9 25.SABDSADMSABM9 25 6 25 3 2.例 2(2015高考全国卷)已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若 ab，求 cos B.(2)若 B90，且 a 2，求ABC 的面积解题指南(1)根据正弦定理将 sin2B2sin Asin C 变为 b22ac，再利用余弦定理求出 cos B(2)利用勾股定理及 b22ac 求出 c，然后确定ABC 的面积解析(1
9、)因为 sin2 B2sin Asin C，由正弦定理得 b22ac，因为 ab，所以 a2c.由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac c22ac c2a14.(2)因为 B90，所以 a2c2b2，又 b22ac，所以 a2c22ac，即 ac 2，所以 SABC12 2 21.延伸探究 1.本例条件“sin2B2sin Asin C”换为“sin2Bsin Asin C”，试求 cos B的最小值解析：因为 sin2Bsin Asin C，由正弦定理得 b2ac，故 cos Ba2c2b22aca2c22ac b22aca2c22ac 12，因为(ac)20，所以 a2c22ac，故
10、cos B11212.所以 cos B 的最小值为12.2若把本例条件“sin2 B2sin Asin C”改为“sin2 Bsin Asin C”(2)中的“B90”改为“B60”，其他条件不变，试求ABC 的面积解析：因为 sin2Bsin Asin C，由正弦定理得 b2ac，因为 cos Bcos 60a2c2b22aca2c2ac2aca2c22ac 1212，所以 a2c22ac，即(ac)20，故 ac，又因为 b2ac，所以 abc 2，所以 SABC 34 a2 34(2)2 32.方法技巧 求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧(1)若平面图形为不规则图形，可通过作辅助线
11、或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积(2)若所给图形为平面三角形，则需运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式 S12absin C 或 S12bcsin A 或 S12acsin B 进行求解跟踪探究 2.(2019中山高一检测)在ABC 中，内角 A，B，C 对边分别是 a，b，c，已知 c2，C3.(1)若ABC 的面积等于 3，求 a，b；(2)若 sin B2sin A，求ABC 的面积解析：(1)由余弦定理得，a2b2ab4，又因为ABC 的面积等于 3，所以12absin C 3，得 ab4.联立方程组a2b2ab4，ab4，解得 a2，b2.(2)由正弦定理
12、，已知条件化为 b2a，联立方程组a2b2ab4，b2a，解得 a2 33，b4 33.所以ABC 的面积 S12absin C2 33.探究三 三角形中的综合计算问题阅读教材 P55 例 3 及解答如图所示，已知O 的半径是 1，点 C 在直径 AB 的延长线上，BC1，点 P 是O 上半圆上的一个动点，以 PC 为边作等边三角形 PCD，且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧(1)若POB，试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 的函数；(2)求四边形 OPDC 面积的最大值题型：三角形中的综合计算问题方法步骤：利用余弦定理求出 PC 的长用 表示出面积的函数 y.利用三角函数有界性求出
13、ymax.例 3 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 2cos(BC)14cos Bcos C.(1)求 cos A 的值；(2)若 a3，求ABC 面积的最大值解题指南(1)将已知条件运用两角和与差的余弦公式进行变形整理，化简为关于cos A 的表达式，进而求出 cos A 的值；(2)运用三角形面积公式结合三角恒等变换求最值解析(1)由已知，得 2cos Bcos C2sin Bsin C14cos Bcos C，所以 2cos Bcos C2sin Bsin C1，即 2cos(BC)1，因此2cos A1，故 cos A12.(2)由(1)得 A3.因为 a3
14、，所以由正弦定理，得bsin Bcsin Casin A3sin 32 3，从而 b2 3sin B，c2 3sin C，于是ABC 的面积 S12bcsin A122 3sin B2 3sin Csin 33 3sin Bsin C.因为 A3，所以 BC23，于是 C23 B，且 0B23，因此 S3 3sin Bsin 23 B 3 3sin B32 cos B12sin B 94sin 2B3 32 sin2B94sin 2B3 34 3 34 cos 2B3 32 sin 2B 32 cos 2B12 3 34 3 32 sin 2B6 3 34.因为 0B23，所以62B676，故
15、当 2B62，即 B3 时，ABC 的面积 S 取最大值9 34.延伸探究 3.在本例(2)中，若条件不变，求ABC 的周长的取值范围解析：由(1)得 A3.因为 a3，所以由正弦定理，得bsin Bcsin Casin A3sin 32 3，从而 b2 3sin B，c2 3sin C，于是ABC 的周长 Labc32 3sin B2 3sin C2 3(sin Bsin C)3.因为 A3，所以 BC23，于是 C23 B，且 0B23.因此 L2 3sin Bsin 23 B 32 3sin B 32 cos B12sin B 36（sin B 32 cos B12 36sin B6 3
16、.因为 0B23，所以6B656，所以 66sinB6 39，即ABC 的周长的取值范围是(6，9方法技巧 三角形中综合计算的应对策略(1)解决与面积有关的三角形的综合问题时，应选取适当的面积公式，结合正、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最值或范围，进而予以解决(2)解题时要注意：合理利用正、余弦定理对边角关系进行转换；合理利用三角恒等变形；注意函数、方程思想的应用跟踪探究 3.(2015高考四川卷)已知 A，B，C 为ABC 的内角，tan A，tan B 是关于 x 的方程 x2 3pxp10(pR)的两实根(1)求 C 的大小；(2)若 AB3，AC 6，求 p 的值解
17、析：(1)tan A，tan B 是关于 x 的方程 x2 3pxp10 的两实根，可得：tan Atan B 3p，tan Atan B1p，所以 tan(AB)tan Atan B1tan Atan B 3pp 3，则 AB120，由三角形内角和为 180可知，C60.(2)在ABC 中，由正弦定理可得，ABsin C ACsin B，求得 sin B 22，则 tan B1.又 tan C 3，由三角形内角和为 180及诱导公式可知 tan Atan(BC)，解得tan A2 3，将 tan A，tan B 代入 tan Atan B 3p，解得 p 31.课后小结(1)对于三角形中的几
18、何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化(2)许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式形式(3)解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等素养培优忽视角的取值范围致错已知ABC 的外接圆半径为 R，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 2R(sin2Asin2C)(2
19、ab)sin B，求ABC 面积的最大值易错分析 求三角形面积的取值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系式(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值其中角的范围至关重要，它往往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错考查函数与方程思想的应用和数学运算的学科素养自我纠正 由已知等式整理得2Rsin Asin A2Rsin Csin C(2ab)sin B，即 asin Acsin C(2ab)sin B.利用正弦定理化简 a2c2 2abb2，即 a2b2c2 2ab.cos Ca2b2c22ab 2ab2ab 22，C 为三角形内角，C45，csin C2R，c2Rsin C 2R.a2b22R2 2ab.2R2 2aba2b22ab.即 ab 2R22 2.则 S12absin C 24 ab 24 2R22 2.则 Smax 212R2.此时 ab 取得“”.课时跟踪训练
