1、课时作业26利用空间向量求空间角基础巩固1若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A30B150C30或150 D以上均错解析:两异面直线所成的角不超过90,本题选A.答案:A2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120,则直线l与平面所成的角等于()A120 B60C30 D以上均错解析:画图帮助判断答案:C3已知E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1中BB1、DC的中点,则异面直线AE与D1F所成的角为()图1A30 B60C45 D90解析:解法1:如图1取AB中点G,连结A1G,GF,则A1D1綊GF,A1GFD1是平行四
2、边形,D1FA1G,A1GAE,D1FAEAE与D1F所成角为90.解法2:由向量法易得异面直线AE与D1F所成的角为90.答案:D4过正方形ABCD的顶点作线段PA平面ABCD,如果PAAB,那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小为()A30 B45C60 D90解析:图2如图2所示建立空间直角坐标系,不妨设AB1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1)平面ABP的一个法向量为(0,1,0),设平面CDP的一个法向量为n(x,y,1),则n0,n0.其中(1,0,0),(0,1,1),所以n(0,1,1)二面角显然是锐角,cos,45
3、.答案:B5已知平面和平面的法向量分别是u(2,3)和v(1,0,2),则这两个平面所形成的钝二面角的余弦值为_解析:cos .答案:6如图3,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE平面ABC,ACB90,BEEFFC1,BC2,AC3.图3(1)求证:BF平面ACFD;(2)求二面角BADF的平面角的余弦值解:以C为原点, CA、CB分别为x,y轴,再添加z轴,建立空间直角坐标系由于平面BCFE平面ABC,则等腰梯形BCFE落在坐标平面yOz内从而可写出相关点的坐标:A(3,0,0)、B(0,2,0)、F、E.则,(3,0,0),.所以,0,0 ,即BFCA,BFCF,故BF平面ACFD.(2
4、)可得(3,0,0),设平面ACFD的一个法向量为m(x1,y1,z1),由,得,取m(0,1)又(3,2,0),设平面ABED的一个法向量为n(x2,y2,z2),由,得,取n(2,3,)则cosm,n .所以,二面角BADC的平面角的余弦值为.能力提升1直线l平面,经过外一点A与l、都成30角的直线有且只有()A1条 B2条C3条 D4条解析:可在直线l上找点B,过B作满足条件的直线,再把直线平移过A即可又过B的直线与平面、直线l所成的角相等,故直线只能在过l且与垂直的垂面上,在此垂面上作与l成30角的直线只有两条答案:B2在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧
5、面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45C60 D90解析:取BC中点O,连结OA,OD,由题设知DO平面ABC,故ADO就是AD与平面BB1C1C所成角,再设棱长为2,可得OA,OD1,则tanADO,即ADO60,选C.答案:C3已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE、SD所成的角的余弦值为()A. B.C. D.图4解析:如图4所示,设底面对角线AC与BD交于O,连结OE,则OESD,AEO是AE与SD所成的角,设正四棱锥的棱长为a,则OE,AEa,AOa,AE2AO2OE2,AOE90,cosAEO.即AE、SD所成
6、角的余弦值为.答案:C4已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等,且ABAC,BC2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是()A. B.C. D.图5解析:如图5,取BC中点E,连结AE,DE,则 AED是所求二面角的平面角在AED中,AD2,AEDE,DE2AE2AD2,AED.也可建立空间直角坐标系求解答案:C5如图6,在矩形ABCD中,AB4,BC3,E是CD的中点,沿AE将ADE折起,使二面角DAEB为60,则四棱锥DABCE的体积是()图6A. B.C. D.解析:图7如图7,在折后图形中,过D作DFAE,垂足为F.过D作DO面ABCE于O,连结FO,则DFO是二面角
7、DAEB的平面角,DFO60又DF,DOVDABCESDO(3423).答案:A6已知AB是两条异面直线AC、BD的公垂线段,AB1,ACBD10,CD,则AC与BD所成的角为_解析:如图8,图82()22222即30120121010 coscos,.AC与BD的夹角为.答案:7已知点O在二面角AB的棱上,点P在内,且POB45.若对于内异于O的任意一点Q,都有POQ45,则二面角AB的大小是_解析:不妨取二面角AB为直二面角,此时,POB就是直线OP与平面所成的角,由最小角定理知,必有POQPOB45从而可推断,当二面角AB大于或等于90时,命题成立,即所求二面角的范围是,)答案:,)8已
8、知正四棱柱的对角线的长为,且对角线与底面所成角的余弦值为,则该正四棱柱的体积等于_解析:由题意,Va2h2 答案:29. 如图9, 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O平面ABCD,ABAA1.图9(1) 证明:A1C平面BB1D1D; (2) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小解:(1)由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为原点建立直角坐标系,如图10.图10ABAA1,OAOBOA11,A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1)由,易得B1(1,1,1)(1,0,1),(0,2,0),
9、(1,0,1),0,0,A1CBD,A1CBB1,A1C平面BB1D1D.(2)设平面OCB1的法向量n(x,y,z)(1,0,0),(1,1,1),取n(0,1,1),由(1)知,(1,0,1)是平面BB1D1D的法向量,cos|cosn,|.又0,.10(2017年高考江苏卷)如图11,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且ABAD2,AA1,BAD120.图11(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角BA1DA的正弦值解:在平面ABCD内,过点A作AEAD,交BC于点E.因为AA1平面ABCD,所以AA1AE,AA1AD.如图12,以,为正交基
10、底,图12建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2,AA1,BAD120,则A(0,0,0),B(,1,0),D(0,2,0),E(,0,0),A1(0,0,),C1(,1,)(1)(,1,),(,1,)则cos,.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为(,0,0)设m(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量,又(,1,),(,3,0),则即不妨取x3,则y,z2,所以m(3,2)为平面BA1D的一个法向量,从而cos,m.设二面角BA1DA的大小为,则|cos|.因为0,所以sin.因此二面角BA1DA的正弦值为.创新拓展1如图13,二面角l的大小是6
11、0,线段AB,Bl,AB与l所成的角为30,则AB与平面所成的角的正弦值是_图13解析:图14如图14所示,过点A作平面的垂线,垂足为C,在内过C作l的垂线垂足为D连结AD,由三垂线定理可知ADl,故ADC为二面角l的平面角,为60,又由已知,ABD30连结CB,则ABC为AB与平面所成的角设AD2,则AC,CD1,AB4,sinABC.答案:2如图15,在直三棱柱A1B1C1ABC中,ABAC,ABAC2,A1A4,点D是BC的中点图15(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解:(1)以A为坐标原点,建立如图16所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),图16(2,0,4),(1,1,4),cos,异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量,设平面ADC1的法向量为m(x,y,z),(1,1,0),(0,2,4),由m,m,取z1,得y2,x2,平面ADC1的法向量为m(2,2,1)设平面ADC1与ABA1所成二面角为,|cos|cos,m|,得sin,平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为.