1、课时作业26利用空间向量求空间角基础巩固1若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A30B150C30或150 D以上均错解析：两异面直线所成的角不超过90，本题选A.答案：A2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60C30 D以上均错解析：画图帮助判断答案：C3已知E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1中BB1、DC的中点，则异面直线AE与D1F所成的角为()图1A30 B60C45 D90解析：解法1：如图1取AB中点G，连结A1G，GF，则A1D1綊GF，A1GFD1是平行四
2、边形，D1FA1G，A1GAE，D1FAEAE与D1F所成角为90.解法2：由向量法易得异面直线AE与D1F所成的角为90.答案：D4过正方形ABCD的顶点作线段PA平面ABCD，如果PAAB，那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小为()A30 B45C60 D90解析：图2如图2所示建立空间直角坐标系，不妨设AB1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)平面ABP的一个法向量为(0,1,0)，设平面CDP的一个法向量为n(x，y,1)，则n0，n0.其中(1,0,0)，(0，1,1)，所以n(0,1,1)二面角显然是锐角，cos，45
3、.答案：B5已知平面和平面的法向量分别是u(2，3)和v(1,0，2)，则这两个平面所形成的钝二面角的余弦值为_解析：cos .答案：6如图3，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.图3(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值解：以C为原点， CA、CB分别为x，y轴，再添加z轴，建立空间直角坐标系由于平面BCFE平面ABC，则等腰梯形BCFE落在坐标平面yOz内从而可写出相关点的坐标：A(3,0,0)、B(0,2,0)、F、E.则，(3,0,0)，.所以，0，0 ，即BFCA，BFCF，故BF平面ACFD.(2
4、)可得(3,0,0)，设平面ACFD的一个法向量为m(x1，y1，z1)，由，得，取m(0，1)又(3，2，0)，设平面ABED的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由，得，取n(2,3，)则cosm，n .所以，二面角BADC的平面角的余弦值为.能力提升1直线l平面，经过外一点A与l、都成30角的直线有且只有()A1条 B2条C3条 D4条解析：可在直线l上找点B，过B作满足条件的直线，再把直线平移过A即可又过B的直线与平面、直线l所成的角相等，故直线只能在过l且与垂直的垂面上，在此垂面上作与l成30角的直线只有两条答案：B2在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧
5、面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45C60 D90解析：取BC中点O，连结OA，OD，由题设知DO平面ABC，故ADO就是AD与平面BB1C1C所成角，再设棱长为2，可得OA，OD1，则tanADO，即ADO60，选C.答案：C3已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为()A. B.C. D.图4解析：如图4所示，设底面对角线AC与BD交于O，连结OE，则OESD，AEO是AE与SD所成的角，设正四棱锥的棱长为a，则OE，AEa，AOa，AE2AO2OE2，AOE90，cosAEO.即AE、SD所成
6、角的余弦值为.答案：C4已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是()A. B.C. D.图5解析：如图5，取BC中点E，连结AE，DE，则 AED是所求二面角的平面角在AED中，AD2，AEDE，DE2AE2AD2，AED.也可建立空间直角坐标系求解答案：C5如图6，在矩形ABCD中，AB4，BC3，E是CD的中点，沿AE将ADE折起，使二面角DAEB为60，则四棱锥DABCE的体积是()图6A. B.C. D.解析：图7如图7，在折后图形中，过D作DFAE，垂足为F.过D作DO面ABCE于O，连结FO，则DFO是二面角
7、DAEB的平面角，DFO60又DF，DOVDABCESDO(3423).答案：A6已知AB是两条异面直线AC、BD的公垂线段，AB1，ACBD10，CD，则AC与BD所成的角为_解析：如图8，图82()22222即30120121010 coscos，.AC与BD的夹角为.答案：7已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且POB45.若对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45，则二面角AB的大小是_解析：不妨取二面角AB为直二面角，此时，POB就是直线OP与平面所成的角，由最小角定理知，必有POQPOB45从而可推断，当二面角AB大于或等于90时，命题成立，即所求二面角的范围是，)答案：，)8已
8、知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于_解析：由题意，Va2h2 答案：29. 如图9, 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形， O为底面中心， A1O平面ABCD，ABAA1.图9(1) 证明：A1C平面BB1D1D; (2) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小解：(1)由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图10.图10ABAA1，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由，易得B1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，
9、(1,0,1)，0，0，A1CBD，A1CBB1，A1C平面BB1D1D.(2)设平面OCB1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面BB1D1D的法向量，cos|cosn，|.又0，.10(2017年高考江苏卷)如图11，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.图11(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图12，以，为正交基
10、底，图12建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)则cos，.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos|.因为0，所以sin.因此二面角BA1DA的正弦值为.创新拓展1如图13，二面角l的大小是6
11、0，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_图13解析：图14如图14所示，过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线垂足为D连结AD，由三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角l的平面角，为60，又由已知，ABD30连结CB，则ABC为AB与平面所成的角设AD2，则AC，CD1，AB4，sinABC.答案：2如图15，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点图15(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1)以A为坐标原点，建立如图16所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，图16(2,0，4)，(1，1，4)，cos，异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为m(x，y，z)，(1,1,0)，(0,2,4)，由m，m，取z1，得y2，x2，平面ADC1的法向量为m(2，2,1)设平面ADC1与ABA1所成二面角为，|cos|cos，m|，得sin，平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为.