1、【知识重温】一、必记 3 个知识点1基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号(3)两个平均数：ab2 称为正数 a，b 的_，ab称为正数 a，b 的_a0，b0ab算术平均数几何平均数2几个重要不等式(1)a2b2_(a，bR)(2)ab_(a，bR)(3)ab22_(a，bR)(4)baab_(ab0)(5)21a1b abab2 a2b22(a0，b0)2abab22a2b2223利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最小值是_(简记：“积定和最小”)(2)如果和 xy
2、是定值 s，那么当且仅当_时，xy 有最大值是s24(简记：“和定积最大”)xy2 pxy二、必明 2 个易误点1求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件2多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性【小题热身】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数 yx1x的最小值是 2.()(2)函数 f(x)cos x 4cos x，x0，2 的最小值等于 4.()(3)“x0 且 y0”是“xyyx2”的充要条件()(4)若 a0，则 a3 1a2的最小值为 2 a.()(5)不等式 a2b22ab 与ab2 ab有相同的成立条件()(6)a2b2
3、c2abbcca(a、b、cR)()2下列不等式证明过程正确的是()A若 a，bR，则baab2baab2B若 x0，y0，则 lg xlgy2 lg xlgyC若 x0，则 x4x2x4x4D若 x2 2x2x2解析：x1.2x2x2 2x2x2.D 正确而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“”答案：D3已知 0 x0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2 abC.1a1b 2abD.baab2解析：a2b22ab(ab)20，A 错误对于 B、C，当 a0，b0，baab2baab2.答案：D5已知 a，b(0，)，若 ab1，则 ab 的最小值为_；若 ab1，
4、则 ab 的最大值为_解析：由基本不等式得 ab2 ab2，当且仅当 ab1 时取到等号；abab2214，当且仅当 ab12时取到等号答案：2 14考点一 利用基本不等式求最值互动讲练型例 1 2020常州调研若实数 x 满足 x4，则函数 f(x)x 9x4的最小值为_解析：x4，x40，f(x)x 9x4x4 9x442x4 9x442，当且仅当 x4 9x4，即 x1 时取等号答案：2例 2 2017山东卷若直线xayb1(a0，b0)过点(1,2)，则2ab 的最小值为_解析：直线xayb1(a0，b0)过点(1,2)，1a2b1，2ab(2ab)1a2b 44ab ba424ab
5、ba8，当且仅当ba4ab，即 a2，b4 时，等号成立故 2ab 的最小值为 8.答案：8悟技法求最值时常见以下几种情形：(1)若直接满足基本不等式条件，即满足求最值的三个前提条件“一正、二定、三相等”，则直接应用基本不等式(2)若不能直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换，对不等式进行分拆、组合、添加系数等方法使之能变成可用基本不等式的形式，创造使不等式中等号成立的条件注意(1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能取得”，这三个方面缺一不可(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等
6、号成立，并且要注意取等号的条件是否一致.变式练(着眼于举一反三)1函数 yx22x1(x1)的最小值是()A2 32 B2 32C2 3D2解析：x1，x10.yx22x1 x22x2x2x1x22x12x13x1x122x13x1x1 3x122x1 3x122 32.当且仅当 x1 3x1，即 x1 3时，取等号答案：A22019河北正定期中若正实数 a，b 满足1a2b ab，则 ab的最小值为()A.2B2C2 2 D4解析：1a2b ab22ab，当且仅当 b2a 时等号成立，ab2 2，ab 的最小值为 2 2，故选 C 项答案：C考点二 利用基本不等式探求参数范围互动讲练型例 3
7、(1)已知函数 f(x)4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_；解析：(1)x0，a0，f(x)4xax24xax4 a，当且仅当 4xax，即 4x2a 时，f(x)取得最小值又f(x)在 x3 时取得最小值，a43236.答案：(1)36(2)2019江西吉安期中设正数 x，y 满足 xy1，若不等式1xay4 对任意的 x，y 成立，则正实数 a 的取值范围是()A4，)B(1，)C1，)D(4，)解析：(2)xy1,且 x0，y0，a0，1xay(1xay)(xy)a1yxaxy a12 a，a2 a14，即 a2 a30，解得 a1，故选 C 项答案：(2)C悟技法利
8、用基本不等式求解含参数的不等式的策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.变式练(着眼于举一反三)32020福建四地六校联考已知函数 f(x)xax2 的值域为(，04，)，则 a 的值是()A.12B.32C1 D2解析：由题意可得 a0，当 x0 时，f(x)xax22 a2，当且仅当 x a时取等号；当 x1)，当 xa 时，y 取得最小值 b，则 ab 等于()A3 B2C3 D8解析：yx4 9x1x1 9x15，因为 x1，所以 x10，9x1
9、0，所以由基本不等式，得 yx19x1 52x1 9x151，当且仅当 x1 9x1，即(x1)29，即 x13，x2 时取等号，所以 a2，b1，ab3.答案：C考点三 基本不等式的实际应用互动讲练型例 4 2019安徽合肥期末某单位有员工 1 000 名，平均每人每年创造利润 10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出 x(xN*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为 10(a0.8x%)(a0)万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.4x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从
10、事第三产业？(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取值范围是多少？解析：(1)由题意，得 10(1 000 x)(10.4x%)101 000，即 x2750 x0，又 x0，所以 00，所以 06，y6，xy1 800)(2)解法一 S1 8326x163 y1 83226x163 y1 8324801 352，当且仅当 6x163 y，xy1 800，即 x40，y45 时，S 取得最大 1 352.解法二 S1 8326x163 1 800 x1 8326x9 600 x1 83226x9 600 x1 8324801 352，当且仅当 6x9 600 x时，即 x40，y45 时，S 取得最大值 1 352.
