1、1.6微积分基本定理自主预习探新知情景引入火箭要把运载物发送到预定轨道是极其复杂的过程，至少涉及变力做功问题，有诸如“曲边梯形”面积计算、变速直线运动的位移计算等问题，应如何解决？能否将“曲边梯形”面积的计算转化为“直边梯形”面积的计算，能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题呢？学习了本节知识后，就可以轻易解决这些问题新知导学1微积分基本定理如果F(x)是区间a，b上的_连续_函数，并且F(x)_f(x)_，那么f(x)dx_F(b)F(a)_.2用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F(x)f(x)的函数F(x)，即找被积函数的_原函数_，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关
2、系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)3被积函数的原函数有很多，即若F(x)是被积函数f(x)的一个_原函数_，那么F(x)C(C为常数)也是被积函数f(x)的_原函数_.但是在实际运算时，不论如何选择常数C(或者是忽略C)都没有关系，事实上，以F(x)C代替式中的F(x)有f(x)dxF(b)CF(a)CF(b)F(a)4求定积分的方法主要有：利用定积分的_定义_；利用定积分的_几何意义_；利用_微积分基本定理_.预习自测1如果f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_2_.解析f(x)dxf(x)dxf(x)dx1，所以1f(x)dx1，所以f(x)d
3、x2.2(x2x)dx_.解析(x2)x2x.原式(x2)|(2)0.3求下列定积分：(1)xdx_.(2)sinxdx_1_.(3)2xdx_.(4) cosxdx_0_.(5)(x3x)dx_.(6) (3xsinx)dx_1_.(7)(3x22x1)dx_24_.(8)dx_.解析(1)()x，xdx|.(2)(cosx)sinx，sinxdxcosx(cos)(cos0)1.(3)()2x，2xdx|.(4)(sinx)cosx，cosxdxsinx|0.(5)(x3x)dx(x4x2)|.(6) (3xsinx)dx(x2cosx)21.(7)(3x22x1)dx(x3x2x)|24
4、.(8)dx|(1).互动探究攻重难互动探究解疑命题方向利用微积分基本定理求定积分 典例1求下列定积分：(1)(x23x1)dx；(2) (cosxsinx)dx；(3)(ex)dx；(4)dx.思路分析明确被积函数，然后寻找被积函数的原函数，再利用微积分基本定理进行计算，必要时，应先对被积函数进行恰当的化简和变形，再寻求其原函数解析(1)(x3x2x)x23x1， (x23x1)dx(x3x2x)|(93)(1).(2)(sinxcosx)cosxsinx， (cosxsinx)dx(sinxcosx)1.(3)(ex2lnx)ex，(ex)dx(ex2lnx)|(e22ln2)ee2e2l
5、n2.(4)dx(2x)dx，又(x2)2x，dx(x2)|.规律总结1.利用微积分基本定理求定积分的步骤：第一步，利用定积分的性质将被积函数变形为基本初等函数导数公式中所列函数形式的积分的代数和第二步，依次找出各被积函数的一个满足F(x)f(x)的原函数F(x)第三步，利用牛顿莱布尼茨公式求值2常用公式cdxcx|(c为常数)；xndxxn1|(n1)；dxlnx|(ba0)；sinxdxcosx|；cosxdxsinx|；exdxex|；axdx|(a0且a1)跟踪练习1_求下列定积分：(1)xndx；(2)(2x2)(3x)dx；(3)()26xdx；(4)2cos2dx.解析(1)xn
6、dxxn1|1n10n1.(2)(2x2)(3x)dx(62x3x2x3)dx(6xx2x3x4)|(63323334)(62222324)4.(3)()26xdx(x2)6xdx(6x2612x)dx(2x36x6x2)|(541854)(266)112.(4)2cos2dx (1cosx)dx(xsinx)1.命题方向微积分基本定理的应用典例2(1)(2020泰安高二检测)若(2ax2a2x)dx，则a_1或_.(2)已知t0，f(x)2x1，若f(x)dx6，则t_3_.解析(1)(2ax2a2x)dx2ax2dxa2xdx2a|x2|a.a，解a1或.(2)f(x)dx(2x1)dx(
7、x2x)|t2tt2t6解得t2或3.t0，t3.跟踪练习2_(1)上题(2)中条件不变，改为试求 (2x1)dx的值(2)若将上题(2)中条件改为f(x)dxf()，求a的值解析(1)由t3，得 (2x1)dx(2x1)dx(x2x)|(93)(11)4.(2)a2aa1，即a22a10，解得a1.学科核心素养求分段函数的定积分求分段函数的定积分时，可利用定积分的性质将其表示为几段定积分和的形式；对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数再求解典例3计算下列定积分：(1)若f(x)求f(x)dx；(2)|x24|dx；(3)(|x1|x3|)dx.思路分析
8、解答本题第(1)小题，可按f(x)的分段标准及积分区间将其化为两段积分的和；解答第(2)(3)小题时，可根据绝对值的意义将其转化为分段函数的定积分解析(1)因为f(x)所以f(x)dxf(x)dx f(x)dxx2dx (cosx1)dxx3|(sinxx)(1).(2)因为|x24|所以|x24|dx|x24|dx|x24|dx(4x2)dx(x24)dx(4xx3)|(x34x)|(8)(12)(8).(3)因为|x1|x3|所以(|x1|x3|)dx|x1|dx|x3|dx(1x)dx(x1)dx|x3|dx(1x)dx(x1)dx(3x)dx(xx2)|(x2x)|(3xx2)|45.
9、规律总结(1)在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间a，b上的积分，分成几段积分和的形式分段的标准是：使每段上的函数表达式确定，按照原来函数分段的情况分即可(2)当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解，与复合函数的求导区分开来例如：对于被积函数ysin3x，其原函数应为ycos3x，而其导数应为y3cos3x.跟踪练习3_(1)设f(x)则f(x)dx(C)ABCD不存在(2)定积分 |sinx|dx的值为_3_.解析(1)f(x)dxx2dx(2x)dxx3|(2xx2)|.(2)|sinx|dxsinxdx (sinx)dx(cosx)|cosx213.易混易错警示积分变量分辨不清典例4求定积分(3t22t1)dx.错因分析如果对积分变量不注意，马马虎虎，就有可能得到(3t22t1)dx(t3t2t)|21120这样的错误结果正解(3t22t1)x3t22t1，(3t22t1)dx(3t22t1)x|3(3t22t1)(3t22t1)6t24t2.点评本题错误在于没有搞清楚积分变量，误以为t是积分变量，从而导致错误事实上，该定积分中，积分变量是x，t是常数，这时被积函数实质是一个常数函数，从而其原函数应是个一次函数y(3t22t1)x.
