1、3.1.3空间向量的数量积运算 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示自主预习探新知情景引入没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积该如何规定，向量的数量积又满足哪些运算律呢？新知导学1向量a与b的夹角已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作a，b，则_AOB_叫做向量a与b的夹角，记作_a，b_.通常规定0a，b180，且a，bb，a，如果a，b_90_，则称a与b互相垂直，记作ab.2向量a，b的数量积空间两个非零向量
2、a、b，ab_|a|b|cosa，b_叫做向量a、b的数量积(或内积)同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：(1)ab_ab0_；(2)|a|2_aa_；空间两个向量的数量积同样满足如下运算律：(1)(a)b(ab)；(2)abba；(交换律)(3)(ab)cacbc.(分配律)3三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的_一条斜线的射影_垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的_一条斜线垂直_，那么它也和_这条斜线在平面内的射影_垂直即与斜线垂直与射影垂直4数量积的性质设a，b都是非零向量，a，b，
3、ab时，_0或_，_0_时，a与b同向；_时，a与b反向ab_ab0.为锐角时，ab_0，但ab0时，可能为_0_；为钝角时，ab_0，但ab0时，可能为_.|ab|a|b|，特别地，当_0_时，ab|a|b|，当_时，ab|a|b|.对于实数a、b、c，若abac，a0，则bc；对于向量a、b、c，若abac，a0，却推不出bc，只能得出_a(bc)_.ab0a0或b0，但a0时，一定有ab_0_.不为零的三个实数a、b、c，有(ab)ca(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(ab)c_a(bc)，因为ab是一个实数，(ab)c是与c共线的向量，而a(bc)是与a共线的向量，a与c却不一
4、定共线5空间向量基本定理(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_xaybzc_.(2)如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是p|pxaybzc，x，y，zR，这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，我们把_a，b，c_叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做_基向量_，空间任何三个_不共面_的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标_不同_，在同一基底下的坐标_相同_.6空间向量的正交分解及其坐标表示设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)以e1、e2、e3的
5、公共起点O为原点，分别以_e1，e2，e3_的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p一定可以把它平移，使它的_起点_与原点O重合，得到向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得p_xe1ye2ze3_.我们把_x、y、z_称作向量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，记作p_(x，y，z)_.预习自测1下列式子中正确的是(D)A|a|aa2B(ab)2a2b2C(ab)ca(bc)D|ab|a|b|解析|a|a是与a共线的向量，a2是实数，故A不对；(ab)2|a|2|b|2cos2a，ba2b2，故B错；(ab)c与c共线，a
6、(bc)与a共线，故C错|ab|a|b|cosa，b|a|b|.2已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|等于(A)A22B48CD32解析|ab|2a2b22ab，|ab|2a2b22ab，|ab|22(a2b2)|ab|22(132192)242484，|ab|22.故选A3以下四个命题中正确的是(B)A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则a、b、c全不是零向量CABC为直角三角形的充要条件是0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底解析由空间基底的概念知，构成基底的三个基向量一定不共面，因此必定不共线，都是非零向量，A错，D错
7、，B正确；ABC为直角三角形时不一定角A为直角，故C错4(内蒙古赤峰市宁城县20192020学年高二期末)设A，B，C，D是空间内不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是(B)A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D任意三角形解析()()()2，0，0，0，()20，cosB0，B是锐角，同理D，C是锐角，则BCD是锐角三角形5设i，j，k是空间向量的一组单位正交基底，且m2i3j4k，ni2j5k，则向量m的坐标为_(2,3，4)_，n的坐标为_(1,2，5)_.互动探究攻重难互动探究解疑命题方向向量的数量积的概念与运算典例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、
8、F分别是AB、AD的中点，计算(1)；(2)；(3).思路分析求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表示，然后据定义进行计算，特别注意a与b的夹角是其方向的夹角如，120，易错认为，60.规范解答(1)|cos，11cos60.(2)|cos，11cos0.(3)()()()()().规律总结1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算2在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式
9、(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入ab|a|b|cosa，b求解跟踪练习1_(湖南师大附中20192020学年高二期中)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若A1ABA1AD60，且A1A3，则A1C的长为(A)AB2CD解析因为，所以|2()2|2|2|22()1192(013cos12013cos120)5，故A1C的长为，故选A命题方向利用数量积求夹角和模典例2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，点N为AA1的中点(1)求的长；(2)求cos，的值规范解答(1)在直三棱柱A
10、BCA1B1C1中，CACB1，BCA90AB，2()222243.|.(2)()()，|cos(ABC)1cos1351，0，0，4，10043，|cos，.规律总结1.空间向量中，求两向量夹角与平面向量求法完全相同，都是应用公式cosa，b，解题的关键就是求ab和|a|、|b|.求模时主要应用|a|2aa解决2在几何图形中计算两向量的数量积时，关键是弄清两向量的夹角，特别注意在ABC中，ABC.跟踪练习2_如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角解析不妨设正方体的棱长为1, 设a，b，c，则|a|b|c|1，abbcca0，ac，ab.(ac)(ab)|
11、a|2abacbc1，而|.cos，又，0，60.因此，异面直线A1B与AC所成的角为60.命题方向利用数量积解决垂直问题典例3已知三棱锥OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.思路分析要证OGBC，只要证0，关键是把、用一组基向量、表示出来规范解答如图所示，连接ON，设AOBBOCAOC，又设a，b，c，则|a|b|c|，abbcac|a|2cos，又()()(abc)cb，(abc)(cb)，(acabb2c2)0.OGBC.规律总结证明两直线垂直，求两直线夹角，其关键环节都是取两直线的方向向量，将其用一组容易求数量积的
12、不共面向量线性表示，证明两直线垂直，即证两直线方向向量的数量积为0；求两直线夹角利用两向量的夹角公式求解，需注意两向量夹角范围是0，跟踪练习3_已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、AC、OA、OB的中点，若ABOC，求证：PMQN.证明如图，设a，b，c，又P、M分别为OA，BC的中点(bc)a(ba)c同理，(ac)b(ba)c|ba|2|c|2，又ABOC，即|ba|c|.0.，即PMQN.命题方向空间向量基本定理及其应用典例4如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是 ABC、OBC的重心，设a，b，c，用向量a、b、c表示向量.思路分析要用向量a、b、c表示向量，就是
13、要找到一组有序实数x、y、z，使xaybzc，可从入手，按向量加减运算的三角形法则及其线性运算性质，利用线性运算逐步向a，b，c靠拢规范解答()()(abc)，又()(bc)，(bc)(abc)a.规律总结1.用基底表示空间向量，一般要结合图形用向量的加法、减法的三角形法则、平行四边形法则及数乘的运算法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示2若a、b、c不共面，则对空间任一向量p，pxaybzc，(x、y、z)是唯一的跟踪练习4_如图，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，点M、N分别是BC、BC 的中点，试用基底a，b，c表示向量，.解析AB()(A)A(abc)()Aabc.学科核心
14、素养 空间向量的坐标表示1建立空间直角坐标系时，必须寻求三条两两垂直的直线2空间向量坐标表示的方法与步骤：(1)观图形：充分观察图形特征(2)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系(3)用运算：综合利用向量的加减及数乘运算(4)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标典例5棱长为1的正方体ABCDABCD中，E、F、G分别为棱DD、DC、BC的中点，以，为基底，求下列向量的坐标(1)、；(2)、.思路分析若向量a可以用基向量e1、e2、e3表示为axe1ye2ze3，则(x，y，z)就是a在基底e1，e2，e3下的坐标规范解答(1)(0,1，)，(1，0)，(，1,1)(2)，()
15、，.规律总结1.求a在单位正交基底下的坐标，关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系，将a表示为axe1ye2ze3，则a的坐标为(x，y，z)2.的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标跟踪练习5_已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的三等分点，且PN2NC，AM2MB，PAAB1，求的坐标分析求坐标的关键是设法利用正交基底的向量表示向量.解析因为PAABAD1，且PA垂直于平面ABCD，ADAB，所以可设i，j，k.以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系因为AAPAA(AA)AAik所以(，0，)易混易错警示 典例6在四面体OABC中，各棱长都相等，
16、E、F分别为AB、OC的中点，求异面直线OE与BF所夹角的余弦值错解取a，b，c，且|a|b|c|1，则abbcca.又(ab)，cb，|，|.(ab)(cb)acbcab|b|2.cos，.异面直线OE与BF所成角的余弦值为.辨析错解的原因是对两向量的夹角理解不透彻，事实上，两向量夹角的取值范围是0，异面直线所成的角的范围是，异面直线l1、l2所成的角为，方向向量为a，b，当0a，b时，a，b，即coscosa，b，当a，b时，a，b，即cos|cosa，b|.正解取a，b，c，且|a|b|c|1，则abbcca.又(ab)，cb，|，|.(ab)(cb)acbcab|b|2.cos，.异面直线夹角范围(0，异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
