1、24空间直角坐标系241空间直角坐标系1了解空间直角坐标系2理解空间直角坐标系的有关概念3掌握空间中任意一点的坐标的求法1空间直角坐标系为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x，y，z表示轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合这时我们在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，在这个过程中，三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系在空间任意一点P与三
2、个实数的有序数组(点的坐标)之间，建立起一一对应的关系：P(x，y，z)其中x叫做点P的横坐标，也叫点P的x坐标；y叫做点P的纵坐标，也叫点P的y坐标；z叫做点P的竖坐标，也叫点P的z坐标2坐标与坐标平面(1)过点P作一个平面平行于平面yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的x坐标(2)过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的y坐标(3)过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z叫做点P的z坐标(4)
3、每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy叫做坐标平面(5)xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x，y为任意实数；(6)yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意实数；(7)xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x，z为任意实数(8)x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集，其中x为任意实数；(9)y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为任意实数；(10)z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数；(11)三个坐标平面把空间分为
4、八部分，每一部分称为一个卦限，在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第、第、第、第卦限；在下方的卦限称为第、第、第、第卦限1在如图所示的坐标系中，OABCDABC是单位正方体，求单位正方体的各顶点坐标解：坐标原点O(0，0，0)，在坐标轴上的点A(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，1)，在坐标面上的点B(1，1，0)，A(1，0，1)，C(0，1，1)，不在坐标轴和坐标面上的点B(1，1，1)2在空间直角坐标系中，P的坐标为(3，4，5)，过点P作平面xOy的垂线，求垂足的坐标解：根据垂直的性质和平面xOy上的点的坐标特点，得到垂足的坐标为(3，4，0)求空间
5、中点的坐标已知VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点已知|AB|2，|VO|3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标【解】因为底面是边长为2的正方形，所以|CE|CF|1因为点O是坐标原点，所以C(1，1，0)，同样的方法可以确定B(1，1，0)，A(1，1，0)，D(1，1，0)因为V在z轴上，所以V(0，0，3)在本例中，若点M是OC的中点，则点M在题图所示的坐标系中的坐标为_解析：在题图中，点M的横坐标为，纵坐标为，竖坐标为0，即M(，0)答案：(1)本题坐标系已给出，不用再建系若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：让尽可能多的点落在
6、坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的对称性(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|AB|2|CE|，|AB|AD|AA1|124试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标解：以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示分别设|AB|1，|AD|2，|AA1|4，则|CF|AB|1，|CE|AB|，所以|BE|BC|CE|2所以点E的坐标为
7、，点F的坐标为(1，2，1)点的对称问题如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a(1)求B1关于平面xOy对称的点的坐标；(2)求B1关于z轴对称的点的坐标；(3)求B1关于原点对称的点的坐标【解】因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，所以易求得点B1的坐标为(a，a，a)(1)B1关于平面xOy对称的点的坐标为(a，a，a)；(2)B1关于z轴对称的点的坐标为(a，a，a)；(3)B1关于原点对称的点的坐标为(a，a，a)解决对称问题的方法技巧(1)解决有关对称问题时，注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线，坐标平面为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置(2)空间点关于坐
8、标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反”如关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点横、纵坐标不变，竖坐标相反特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数 1在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与点Q(3，4，5)的位置关系是()A关于x轴对称B关于xOy平面对称C关于坐标原点对称 D以上都不对解析：选A点P(3，4，5)与点Q(3，4，5)的横坐标相同，而纵、竖坐标分别互为相反数，所以两点关于x轴对称2点P(1，2，3)关于zOx平面对称的点的坐标为()A(1，2，3) B(1，2，3)C(1，2
9、，3) D(1，2，3)解析：选B因点P(1，2，3)与点P关于zOx平面对称，则对称点P的坐标应为P(1，2，3)1空间中点M坐标的确定方法(1)由点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交三个坐标轴于点P、Q和R，设这三个点在三个轴上的坐标分别是x、y、z，则点M的坐标即为(x，y，z)；(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标2空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点坐标为1建立空间直角坐标系时，必须分别以从同一点引出并且两两垂直的三条直线为x，y，z轴建系2构造以OM为体对角线的长方体确定点M的坐标时，要考
10、虑M点各坐标的符号1已知点A(1，2，7)，则点A关于x轴对称点的坐标为()A(1，2，7)B(1，2，7)C(1，2，7) D(1，2，7)答案：A2点P(2，0，3)位于()Ay轴上 Bz轴上CxOz平面内 DyOz平面内解析：选C由点P纵坐标为零知P(2，0，3)在xOz平面内3点P(3，2，1)关于Q(1，2，3)的对称点M的坐标是_解析：设M坐标为(x，y，z)，则有1，2，3，解得x5，y2，z7，所以M为(5，2，7)答案：(5，2，7)4在空间直角坐标系Oxyz中，点P(2，3，4)在x轴上的射影的坐标为_，在平面xOy上的射影的坐标为_，在yOz平面上的射影的坐标为_答案：(
11、2，0，0)(2，3，0)(0，3，4)学生用书P129(单独成册)A基础达标1如图，在正方体ABCDABCD中，棱长为1，|BP|BD|，则P点的坐标为()A(，)B(，)C(，)D(，)解析：选D连接BD，点P在xDy平面的投影落在BD上，因为|BP|BD|，所以PxPy，Pz，故P(，)2在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于x轴对称的点P的坐标为()A(1，2，3)B(1，2，3)C(1，2，3) D(1，2，3)解析：选B关于x轴对称，x不变，y、z相反，故P(1，2，3)关于x轴对称点的坐标为P(1，2，3)故选B3若点P(4，2，3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(
12、a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A7 B7C1 D1解析：选D由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(4，2，3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，2，3)，故c3，e4，故ce3414点P(1，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()A(0，0，) B(0，)C(1，0，) D(1，0)解析：选D由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，0)5在空间直角坐标系中，点P(2，4，4)关于x轴的对称点的坐标是()A(2，4，4) B(2，4，4)C(2，4，4) D(2，4，4)解析：选B因为点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，
13、在y，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P的坐标为(2，4，4)，故选B6在xOy平面内有两点A(2，4，0)，B(3，2，0)，则AB的中点坐标是_解析：设AB中点坐标为(x，y，z)，则x，y3，z0，所以中点坐标为(，3，0)答案：(，3，0)7点P(a，b，c)关于原点的对称点P在x轴上的投影A的坐标为_解析：由题意得P(a，b，c)，所以P(a，b，c)在x轴上的投影A的坐标为(a，0，0)答案：(a，0，0)8如图所示的坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是_解析：点A在x轴、y轴、z轴上的投影分别是B1、D1、C，故A点坐标为(1，1，1)答案：(1，1，1)9如图，在长方体OA
14、BCDABC中，|OA|1，|OC|3，|OD|2，点E在线段AO的延长线上，且|OE|，写出B，C，E的坐标解：点C在y轴上，x坐标，z坐标均为0，且|OC|3，故点C的坐标为(0，3，0)因为BB垂直于xOy平面，垂足为B，所以点B与B的x坐标和y坐标都相同，又|BB|OD|2，且点B在xOy平面的上方，所以点B的坐标为(1，3，2)点E在x轴负半轴上，且|OE|，所以点E的坐标为(，0，0)10在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为4，E是A1C1的中点，F是BB1上的点，且|BF|3|FB1|建立如图所示的空间直角坐标系求E、F的坐标解：E点在xDy平面上的投影为AC的中点H(2，
15、2，0)，又|EH|4，所以E点的z坐标为4因此点E的坐标为(2，2，4)F点在xDy平面上的投影为B(4，4，0)，因为|BB1|4，|BF|3|FB1|，所以|BF|3，即点F的z坐标为3，所以点F的坐标为(4，4，3)B能力提升11设z是任意实数，相应的点P(2，2，z)运动的轨迹是()A一个平面 B一条直线C一个圆 D一个球解析：选B由P的x、y坐标是定值，则过(2，2，0)作与xOy平面垂直的直线，直线上任意一点都满足x2，y2，故P的轨迹是一条直线12已知ABCD的两个顶点A(2，3，5)，B(1，3，2)以及它的对角线交点E(4，1，7)，则顶点C的坐标为_，D的坐标为_解析：E
16、为AC、BD的中点答案：(6，1，19)(9，5，12)13如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，|PA|AC|AB|4，N为AB上一点，|AN|AB|，M、S分别为PB、BC的中点试建立适当的空间直角坐标系，求点M、N、S的坐标解：由线面垂直的性质可知AB、AC、AP三条直线两两垂直，如图，分别以AB、AC、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(8，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，因为M、S分别为PB、BC的中点，由中点坐标公式可得，M(4，0，2)，S(4，2，0)因为N在x轴上，|AN|2，所以N(2，0，0)14(选做题)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H点的坐标解：如图所示，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系因为点E在z轴上，E为DD1的中点，故其坐标为过点F作FMAD于M，FNDC于N，由平面几何知识知|FM|，|FN|，故F点坐标为点G在y轴上，又|GD|，所以G点坐标为过H作HKCD于K因为H为C1G的中点，所以K为CG的中点，所以|DK|，|HK|故H点坐标为所以E，F，G，H四点的坐标分别为，
