1、1.2集合间的基本关系【素养目标】1理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示(直观想象)2会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示(直观想象)3在具体情境中理解空集的含义(数学抽象)【学法解读】1在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念2要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符合语言、图形语言，应理解并掌握以上方法的转化及应用必备知识探新知基础知识知识点1 子集、真子集的概念1子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_任意一个_元素都是集合B中
2、的元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作_AB_(或_BA_)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC2真子集的概念定义如果集合AB，但存在元素_xB_，且_xA_，就称集合A是集合B的真子集记法记作AB(或BA)图示结论(1)AB，BC，则AC(2)AB且AB，则AB思考1：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符合“”与“”有什么区别？提示：(1)不一定，如集合A1,3，B2,3，这两个集合就没有包含关系(2)“”是表示元素与集合之间的关系，比如1N，1N“”是表示集合与集合之间的关
3、系，比如NR，1,2,33,2,1“”的左边是元素，右边是集合，则“”的两边均为集合知识点2 集合相等自然语言如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素，都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作AB符号语言AB且BAAB图形语言思考2：怎样证明或判断两个集合相等？提示：(1)若AB且BA，则AB，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证AB，只需证AB与BA均成立(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即AB；设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致
4、，则两集合相等，即AB知识点3 空集定义不含任何元素的集合叫做空集记法规定空集是任何集合的子集，即A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，(2)A，则A思考3：，0，0与之间有怎样的关系？提示：与0与0与相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点是集合；0是实数不含任何元素；0含一个元素0不含任何元素；含一个元素，该元素是关系00或知识点4 Venn图在数学中，经常用平面上_封闭曲线_的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法注意：1用Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系ABBAAB2Venn图适用于元素个数较少的集合思考4：Venn图的优点是什么？提示：形
5、象直观基础自测1已知集合M1，N1,2,3，则有(D)AMNBMNCNM DMN解析11,2,3，11,2,3故选D2下列四个集合中，是空集的为(B)A0 Bx|x8，且x5CxN|x210 Dx|x4解析x8，且x5的数x不存在，选项B中的集合不含有任何元素，故选B3用适当的符号填空：(1)a_a，b，c；(2)0_x|x20；(3)_xR|x210；(4)0,1_N；(5)0_x|x2x；(6)2,1_x|x23x204若A1，a,0，B1，b,1，且AB，则a_1_，b_0_解析利用集合相等，元素相同可得a1，b05判断下列两个集合之间的关系：(1)Ax|x0，Bx|x1；(2)Ax|x
6、3k，kN，Bx|x6z，zN；(3)AxN|x是4与10的公倍数，Bx|x20m，mN解析(1)AB(2)AB(3)AB关键能力攻重难题型探究题型一集合间关系的判断例1(1)(2021抚州高一检测)设集合Ax|x，kZ，Bx|x，kZ，则集合A与B的关系是(B)AABBBACABDA与B关系不确定(2)(2020太原高一检测)在下列各组中的集合M与N中，使MN的是(D)AM(1，3)，N(3,1)BM，N0CMy|yx21，xR，N(x，y)|yx21，xRDMy|yx21，xR，Nt|t(y1)21，yR(3)判断下列两个集合之间的关系：Px|x2n，nZ，Qx|x4n，nZPx|x30，
7、Qx|2x50Px|x2x0，Qx|x分析(1)将集合A、B中的表达式分别提取，再分析得到式子的形式，可得A、B的关系；(2)结合每个集合中元素的形式和元素的取值进行判断；(3)根据数集的意义、不等式表示的范围等方法进行判断解析(1)对集合B，x(2k1)，因为k为整数，所以集合B表示的数是的奇数倍；对集合A，x(k2)，因为k2是整数，所以集合A表示的数是的整数倍因此，B中元素必定是A中的元素，即BA，故选B(2)在A中，M和N表示不同的点；在B中，M是空集，N是单元素集；在C中，M是数集，N是点集；在D中，My|yx21，xRy|y1，Nt|t(y1)21，yRt|t1因此，MN故选D(3
8、)因为P是偶数集，Q是4的倍数集，所以QP；Px|x30x|x3，Qx|2x50x|x所以PQPx|x2x00,1在Q中，当n为奇数时，x0，当n为偶数时，x1，所以Q0,1，所以PQ归纳提升(1)集合间基本关系判定的两种方法和一个关键AAA(2)证明集合相等的两种方法用两个集合相等的定义，证明两个集合A，B中的元素全部相同，即可证明AB；证明AB，同时BA，推出AB【对点练习】 (2020四川广元外国语高一段考)下列各式中，正确的个数是(D)0；0；0；00；00；11,2,3；1,21,2,3；a，bb，aA1B2C3 D4解析表示空集，没有元素，0有一个元素，则0，故错误；空集是任何集合
9、的子集，故正确；和0都表示集合，故错误；0表示元素，0表示集合，故错误；00，故正确；1，1,2,3都表示集合，故错误；1,2中的元素都是1,2,3中的元素，故正确；由于集合的元素具有无序性，故a，bb，a，故正确综上，正确的个数是4个题型二确定集合的子集、真子集例2设Ax|(x216)(x25x4)0，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集分析解析由(x216)(x25x4)0，得(x4)(x1)(x4)20，则方程的根为x4或x1或x4故集合A4，1,4，由0个元素构成的子集为：由1个元素构成的子集为：4，1，4由2个元素构成的子集为：4，1，4,4，1,4由3个元素构成的子集为：4
10、，1,4因此集合A的子集为：，4，1，4，4，1，4,4，1,4，4，1,4真子集为：，4，1，4，4，1，4,4，1,4归纳提升(1)若集合A中有n(nN)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n1)个真子集，有(2n1)个非空子集，有(2n2)个非空真子集(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：和自身其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，一一写出，保证不重不漏【对点练习】 满足a，bAa，b，c，d，e的集合A的个数是(C)A2 B6C7 D8解析由题意知，集合A可以为a，b，a，b，c，a，b，d，a，b，e，a，b，c，d，a，b，c，
11、e，a，b，d，e题型三由集合间的关系求参数范围问题例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1(1)若AB，求实数m的取值范围；(2)若BA，求实数m的取值范围分析借助数轴分析，注意对B为空集情况的讨论解析(1)当AB时，如图所示，此时B即m不存在，即不存在实数m使AB(2)当B时，若BA，如图所示，或解这两个不等式组，得2m3当B时，满足BA，由m12m1，得m2综上可得，m的取值范围是m3归纳提升(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“”用实心点表示，不含“”用空心点
12、表示此类问题要注意对空集的讨论【对点练习】 (1)已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2，若BA，则实数m_1_；(2)已知集合Ax|x1，或x4，Bx|2axa3，若BA，求实数a的取值范围解析(1)因为BA，所以m22m1，即(m1)20，所以m1当m1时，A1,3,1，B3,1，满足BA，故m1(2)当B时，只需2aa3，即a3；当B时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或，解得a4或2a3综上可得，实数a的取值范围为a4或a2误区警示忽视“空集”的存在例4已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为(D)A1 B1C1,1 D1,0,1错解因为BA，而Bx|
13、x，因此有A，所以a1，故选C错因分析空集是一个特殊而重要的集合，它不含任何元素，记为在解隐含有空集参与的集合问题时，极易忽视空集的特殊性而导致错解本例求解过程中有两处错误，一是方程ax1的解不能写成x，二是忽视了BA时，B可以为空集事实上a0时，方程无解正解因为BA，所以当B，即a0时，Bx|x，因此有A，所以a1；当B，即a0时满足条件综上可得实数a的所有可能取值的集合是1,0,1故选D方法点拨已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集
14、时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到学科素养分类讨论思想的应用分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行例5(2021江苏南通高一联考)若A|a|，a2，B0,2,4，且AB，则实数a的所有值为_2，2_分析根据集合中元素的互异性以及子集的定义进行分类讨论解析A|a|，a2，B0,2,4，且AB，由元素的互异性可知|a|a2，a0，|a|0当|a|2时，a2，a24，此时A2,4，符合题意
15、；当|a|4时，a4，a216，此时A4,16，不符合题意a的值为2或2归纳提升A是B的子集，则A中元素都是B中的元素，可以让A中元素与B中元素对应相等，但要注意检验，排除与集合互异性或与已知相矛盾的情形课堂检测固双基1已知集合M菱形，N正方形，则有(C)AMNBMNCNM DMN解析M菱形，N正方形，集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，NM2下列四个集合中是空集的是(B)A BxR|x210Cx|1x2 Dx|x22x10解析方程x210无实数解，集合xR|x210为空集，故选B3(2021陕西黄陵中学高一期末测试)集合Ax|0x3且xZ的真子集个数是(C)A5 B6C7 D8解析Ax|0x3且xZ0,1,2，集合A的真子集个数为7，故选C4下列正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的Venn图是_解析由N1,0，知NM5设Ax|x28x150，Bx|ax10，若BA，则实数a组成的集合C_0，_解析Ax|x28x150，A3,5又Bx|ax10，当B时，a0，显然BA；当B时，B，由于BA，3或5，a或故实数a组成的集合C0，
