1、章末评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线3x2y29的焦距为()A.B2C2D4解析：方程化为标准方程为1，所以a23，b29.所以c2a2b212，所以c2，所以2c4.答案：D2抛物线y24x的焦点坐标是()A(0，2) B(0，1)C(2，0) D(1，0)解析：由y24x知p2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)答案：D3已知椭圆1(m0)的离心率e，则m的值为()A3 B.或3C. D.或解析：由题意知m0，当5m时，a，b，c，所以e，解得m3；当50)与抛物线C：
2、y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k等于()A. B. C. D.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20.由得k2x2(4k28)x4k20，所以x1x24，根据抛物线的定义得，|FA|x1x12，|FB|x22.因为|FA|2|FB|，所以x12x22，由得x21(x22舍去)，所以B(1，2)，代入yk(x2)得k.答案：D12已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0，1) B.C. D.解析：由0可知点M在以线段F1F2为直径的圆上，要使点M总在椭圆内部，只需cb，即c
3、2b2，c2a2c2，2c2a2，即e2.因为0e1，所以0eb0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解析：将y代入椭圆的标准方程，得1，所以xa，故B，C.又因为F(c，0)，所以，.因为BFC90，所以0，所以0，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，得a2c2，所以 e2，所以e(负值舍去)答案：16已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_解析：法一设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，所以k.设AB中点M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B
4、作准线x1的垂线，垂足为A，B，因为AMB90，则|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)因为M(x0，y0)为AB中点，所以M为AB的中点，所以MM平行于x轴，所以y1y22，所以k2.法二由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1，0)，设直线方程为yk(x1)，直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2.由M(1，1)，得(1x1，1y1)，(1x2，1y2)由AMB90，得0，所以(x11)(x21)(y11)(y21)0，所以x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x
5、21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，所以11k2(11)k(2)10，整理得10，解得k2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)抛物线y2x上存在两点关于直线ym(x3)对称，求m的取值范围解：设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线ym(x3)对称，AB的中点为M(x，y)，则当m0时，有直线y0，显然存在两点关于它对称当m0时，所以y，所以M的坐标为，因为M在抛物线内，则有，得m0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于
6、双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程解：设PF1的中点为M，连接F2M.由|PF2|F1F2|，故F2MPF1，即|F2M|2a.在RtF1F2M中，|F1M|2b，故|PF1|4b.根据双曲线的定义有4b2c2a，即2bac，即(2ba)2a2b2，即3b24ab0，即3b4a，故双曲线的渐近线方程是yx，即4x3y0.19(本小题满分12分)如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程解：(1)由联立得x24x4b0，(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1
7、，故方程(*)即为x24x40，解得x2，代入x24y，得y1，故点A(2，1)因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2，所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.20(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为yx，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求.解：(1)因为双曲线的一条渐近线方程为yx，所以设双曲线方程为x2y2(0)把(4，)代入双曲线方程得42()2，所以6，所以所求双曲线方程为x2y26.(2)由(1)知双曲线方程为x2y26，所以双曲线的焦
8、点为F1(2，0)，F2(2，0)因为点M在双曲线上，所以32m26，所以m23.所以(23，m)(23，m)(3)2(2)2m2330.21(本小题满分12分)已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值；(3)设P(2，0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q(，)共线，求k.解：(1)由题意得解得a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230，所以x1x2，x
9、1x2.所以|AB| .当m0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x3y3，x3y3.直线PA的方程为y(x2)由得(x12)23yx212yx12y3(x12)20.设C(xC，yC)，所以xCx1.所以xCx1.所以yC(xC2).设D(xD，yD)，同理得xD，yD.记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQkDQ4(y1y2x1x2)因为C，D，Q三点共线，所以kCQkDQ0.故y1y2x1x2.所以直线l的斜率k1.22(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别
10、是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求的值；()求ABQ面积的最大值解：(1)由题意知，2a4，则a2，又，a2c2b2，可得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.()设P(x0，y0)，由题意知，Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m20.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因为S22，故S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由()知，ABQ面积为3S，所以ABQ面积的最大值为6.