1、第三章不等式4 简单线性规划4.2 简单线性规划内 容 标 准学 科 素 养1.巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域.2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.体会线性规划的基本思想，借助几何知识，直观解决一些简单的线性规划问题.准确数形结合严格分类讨论提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 线性规划问题预习教材P100105，思考并完成以下问题1已知x，y满足xy10，xy10，x3求z2x3y的取值范围，在该问题中x，y满足xy10，xy10，x3的含义是什么？提示
2、：x，y的取值受不等式组的约束，或说不等式组是这一对变量x，y的约束条件2若把1中的(x，y)看成点，该点与不等式组表示的平面区域有什么关系？提示：该点应在不等式组表示的平面区域内，该区域是点(x，y)的可行域3上述问题中等式z2x3y中，z与x，y之间可看成什么关系？若将z2x3y看成关于x，y的二元一次方程，则z的几何意义是什么？提示：把x，y看成一对变量，则z可看作x，y的函数，二元一次方程表示直线，因此z可看作是该直线在y轴上截距的倍数知识梳理 1.线性规划中的基本概念名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件关于x，y的_不等式目标函数欲求最大值或最小值且涉及变量x，y的解
3、析式线性目标函数目标函数是关于x，y的_解析式线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题可行解满足线性约束条件的_可行域所有可行解组成的_最优解使目标函数取得最大值或最小值的_二元一次一次解集合可行解2.用图解法解决线性规划问题在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为：(1)在平面直角坐标系中画出_；(2)将目标函数zaxby(b0)变形为_，将求z的最值问题转化为求直线yabxzb在_的截距zb的最值问题；(3)画出直线_并平行移动，在平移过程中，一般最先或最后经过的点为最优解；(4)求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的最值可行域yabxzb
4、y轴上yabx思考：1可行解与最优解有何关系？提示：最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解2一个线性规划问题一定存在可行解吗？提示：不一定，例如，已知约束条件2xy4，xy5，x0，y0，求目标函数z2xy的最大值如图所示，因为xy5所表示的区域与2xy4所表示的区域在不等式组x0，y0所确定的范围内它们的交集是空集，即该问题的可行域是空集，问题无解自我检测1已知某线性规划问题中的目标函数为z3xy，若将其看成直线方程，则z的几何意义是()A该直线的截距B该直线的纵截距C该直线的纵截距的相反数D该直线的横截距解析：由z3xy，得y3xz，在该方程中z表示直线的纵截距，因此z表示该直线的纵截
5、距的相反数答案：C2已知变量x，y满足约束条件y2，xy1，xy1，则z3xy的最大值为()A12 B11C3 D1解析：作出如图所示的可行域(阴影部分)，把z3xy变形为y3xz，平移直线3xy0，当直线经过点B(3，2)时，z取得最大值，最大值为11.答案：B3若实数x，y满足不等式组xy2，2xy4，xy0，则2x3y的最小值是_解析：由不等式组作出可行域，如图中的阴影部分，将目标函数z2x3y变形为y23xz3，平移该直线，当直线经过点C时，z取得最小值由xy2，2xy4，得x2，y0，因此C(2，0)，故zmin22304.答案：4探究一 求线性目标函数的最值 阅读教材P101103
6、例5，6，7及解答题型：求线性目标函数的最值方法步骤：作出可行域借助平行直线系找到最优解计算线性目标函数的最值例1 设变量x，y满足xy10，0 xy20，0y15，试求：(1)2x3y的最大值；(2)4xy的最大值；(3)3xy的最小值；(4)5x5y的最大值解题指南 画出可行域，然后按照线性规划问题的图解法步骤，进行求解解析(1)画出线性约束条件表示的可行域(如图中的阴影部分)，令2x3yz，则y23xz3，由图可知，当直线y23xz3经过点A(5，15)时，直线在y轴上的截距最大，z取到最大值，故zmax2531555.(2)画出线性约束条件表示的可行域(如图中的阴影部分)，令4xyz，
7、则y4xz，由图形可知，当直线y4xz经过点B(15，5)时，直线在y轴上的截距最大，z取到最大值，故zmax415565.(3)画出线性约束条件表示的可行域(如图中的阴影部分)，令3xyz，则y3xz，由图形可知，当直线y3xz经过点C(15，15)时，直线在y轴上的截距最大，z取到最小值，故zmin3(15)1560.(4)画出线性约束条件表示的可行域(如图中的阴影部分)，令5x5yz，则yxz5，由图形可知，当直线yxz5与边界直线xy10重合时，直线在y轴上的截距最小，z取最大值，由于B(15，5)，故zmax5155550.方法技巧 线性规划问题的求解方法图解法在确定线性约束条件和线
8、性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：(1)画图：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线axby0(目标函数为zaxby)；(2)平移：平行移动直线axby0，确定使zaxby取得最大值或最小值的点；(3)求值：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；(4)答案：写出运算结果跟踪探究 1.若变量x，y满足约束条件xy8，2yx4，x0，y0，且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是()A48 B30 C24 D16解析：先将不等式2yx4转化为x2y4，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数yx5z5的最优解，进而求得
9、a，b的值xy8，2yx4，x0，y0，xy8，x2y4，x0，y0，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z5yx，得yx5z5.由图知目标函数yx5z5，过点A(8，0)时，zmin5yx5088，即b8.目标函数yx5z5过点B(4，4)时，zmax5yx54416，即a16.ab16(8)24，故选C.答案：C探究二 求非线性目标函数的最值 例2 已知2xy20 x2y403xy30，当x，y取何值时，x2y2取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？解题指南 利用x2y2的几何意义即可行域上的点到坐标原点的距离的平方，然后数形结合求解解析 画出线性约束条件表示的可行域，如图
10、阴影部分所示，求x2y2的最大值和最小值就是求x2y2m在三角形区域BCD上的最大值和最小值，根据题中的三个方程我们可以看到B(0，2)，C(1，0)，D(2，3)，E(2，0)，OB2，OC1，所以BCOB2OC2 5，OE2，DE3.当圆O和边BC相切时，取得最小值OA2，点A就是(x，y)，即OABCOBOC，得OA 25，所以x2y2OA245，A点为2xy20和x2y245的交点，解得A45，25 即x45，y25，x2y2取得最小值45.当圆O过D点时，x2y2取得最大值OD2，此时点D(2，3)就是(x，y)，即x2，y3，OD OE2DE2 13，所以x2y2OD213，即x2
11、，y3，x2y2取得最大值13.所以当x45，y25，x2y2取得最小值45；当x2，y3，x2y2取得最大值13.方法技巧 非线性目标函数的最值求解，可先将目标函数变形，找到它的几何意义，再进行求解拓展：求非线性目标函数的最值举例：对于非线性目标函数的最值问题，理解其几何意义是解题的关键，常见的非线性目标函数有三类：(1)形如x(xa)2(yb)2的目标函数，该类型的目标函数均可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方，特别地，x2y2 表示点(x，y)与原点(0，0)间的距离(2)形如zaybcxd(ac0)的目标函数，该类型的目标函数可先变形为zacybaxdc的形式，将
12、问题转化为求可行域内的点(x，y)与点dc，ba 所连直线的斜率的ac倍的最值问题，特别地，yx 表示点(x，y)与原点(0，0)所连直线的斜率，ybxa 表示点(x，y)与点(a，b)所连直线的斜率(3)形如z|axbyc|的目标函数，可先变形为za2b2|axbyc|a2b2的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)到直线axbyc0的距离的 a2b2倍的最值问题跟踪探究 2.已知关于x，y的二元一次不等式组xy20，xy40，2xy50，求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z2y1x1 的取值范围解析：(1)画出可行域，如图阴影部分所示zx2y210y25x2(y5)2，它表
13、示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|292.(2)z 2y1x1 2y12x（1），它表示可行域内任一点(x，y)与定点Q1，12 连线的斜率的两倍结合(1)中图可得A(1，3)，B(3，1)，所以kQA74，kQB38.故z的取值范围为34，72.探究三 由最优解或最值求参数 例3 设zkxy，其中实数x，y满足xy20，x2y40，2xy40.若z的最大值为12，则实数k_解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0k12时，直线ykxz经过点M(4，4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)
14、；当k12时，直线ykxz经过点(0，2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当k0时，直线ykxz经过点M(4，4)时z最大，所以4k412，解得k2，符合题意综上可知，k2.答案 2延伸探究 把本例中“xy20”改为“x2”，k的值如何？解析：作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当0k 12 时，直线ykxz经过点M(4，4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k12时，直线ykxz经过点N(2，3)时z最大，所以2k312，解得k 92(舍去)；当k0时，直线ykxz经过点M(4，4)时z最大，所以4k412，解得k2，符合综上可知，k2.答案：2方法技巧 含参数的线性目标
15、函数问题的求解策略(1)本类题属逆向思维类型，解答时要画出图形，使用数形结合的方法(2)解答此类问题首先要熟练线性规划问题的求解程序和确定最优解的方法，还要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，对边界直线的斜率与目标函数对应的直线的斜率要认真对照分析跟踪探究 3.(1)(2015高考山东卷)已知x，y满足约束条件xy0，xy2，y0，若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2 C2 D3(2)(2014高考浙江卷)当实数x，y满足x2y40，xy10，x1时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_解析：(1)由约束条件画出可行域如图，解得A(2，0)，B(1，1)，若过点A(2
16、，0)时取最大值4，则a2，验证符合条件；若过点B(1，1)时取最大值4，则a3，而若a3，则z3xy最大值为6(此时A(2，0)是最大值点)，不符合题意答案：B(2)解析：作出不等式组x2y40，xy10，x1所表示的区域，综合1axy4，由图可知，a0且在(1，0)点取得最小值，在(2，1)点取得最大值，所以a1，2a14，故a的取值范围为1，32.答案：1，32课后小结(1)用图解法求线性目标函数的最值时，由于关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图一定要准确；其次要弄清z的含义，z若是与直线的纵截距有关，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，以确定最优解(
17、2)解决非线性目标函数问题时，要首先考虑目标函数的几何意义，再结合图形解决(3)已知最值求参问题需对参数的取值进行设计，结合题意寻求确切答案素养培优忽视对参数的分类讨论致误已知x，y满足约束条件|x|2|y|2，且zymx(m0)的最小值等于2，则实数m等于_易错分析 当目标函数中含有参数时，参数的不同取值将影响最优解的位置，因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系，对参数的取值情况进行分类讨论，在运动变化中寻找问题成立的条件，从而得到参数的取值如果在约束条件中含有参数，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行
18、分类讨论，以免出现漏解自我纠正 原不等式等价于以下四个不等式组：x0，y0，x2y2，x0，y0，x2y2，x0，y0，x2y2，x0，y0，x2y2，因此画出可行域(下图中的阴影部分)由zymx，得ymxz.当m12时，由图形可知，目标函数在点A(2，0)处取得最小值，因此202m，解得m1；当0m 12 时，由图形可知，目标函数在点D(0，1)处取得最小值，因此21m0，m无解；当m 12 时，由图形可知，目标函数在点C(2，0)处取得最小值，因此202m，解得m1；当 12 m0时，由图形可知，目标函数在点D(0，1)处取得最小值，因此21m0，m无解综上，实数m的值为1或1.课时跟踪训练
