1、41实数指数幂和幂函数41.1有理数指数幂新课程标准解读核心素养理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值数学抽象、数学运算公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生问题若x23，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎样表示？知识点一根式1n次方根定义若一个(实)数x的n次方(nN，n2)等于a，即xna，则称x是的n次方根性质n为奇数a的n次方根记作 (1)当a0时，0；(2)当a0时，0；(
2、3)当a0时，x规定 0；负数没有偶次方根2根式(1)定义：式子叫作根式(nN，n2)，其中n叫作根指数，a叫作被开方数；(2)性质：(n1，且nN)()n；注意与()n的区别(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 正数a的n次方根一定有两个吗？提示：不一定当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时
3、，正数a的n次方根只有一个且仍为正数1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1) 3.()(2)81的4次方根是3.()答案：(1)(2)2(多选)若xna(x0)，则下列说法中正确的有()A当n为奇数时，x的n次方根为aB当n为奇数时，a的n次方根为xC当n为偶数时，x的n次方根为aD当n为偶数时，a的n次方根为x答案：BD3若有意义，则x的取值范围是_；若有意义，则x的取值范围是_答案：R知识点二分数指数幂1分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a(a0，m，nN且n2)负分数指数幂规定：a(a0，m，nN且n2)0的分数指数幂0的正分数指数幂为，0的负分数指数幂没有意义2指数幂的
4、运算性质(1)asatast(a0，s，tQ)；(2)(as)tast(a0，s，tQ)；(3)(ab)tatbt(a0，b0，tQ)1为什么分数指数幂的底数规定a0?提示：当a0)()(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘()(3)0的任何指数幂都等于0.()(4)化简式子()2的结果是.()答案：(1)(2)(3)(4)根式的概念例1(1)16的平方根为_，27的5次方根为_；(2)已知x76，则x_解析(1)(4)216，16的平方根为4.27的5次方根为.(2)x76，x.答案(1)4(2)判断关于n次方根的结论应关注两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决
5、定着n次方根的符号 跟踪训练1(多选)下列说法正确的是()A16的4次方根是2B.的运算结果是2C当n为大于1的奇数时，对任意aR都有意义D当n为大于1的偶数时，只有当a0时才有意义解析：选CD16的4次方根应是2；2，所以正确的应为C、D.2已知m102，则m等于()A.BC. D解析：选Dm102，m是2的10次方根又10是偶数，2的10次方根有两个，且互为相反数m.利用根式的性质化简与求值例2(链接教科书第94页例1)化简与求值：(1) ；(2) (3) ；(4) .解(1) 5.(2) 3.(3)a，12a0，.(4)原式yx|xy|yx.当xy时，原式xyyx0；当x0)，(a0),
6、 (a0)解a；a(a0)；aa2；(a0)a； (a0) a.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子；(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题 跟踪训练1(多选)下列结论中正确的有()A(2)(2)B(2)(3)(2)(3)C当a0时，(ar)s(as)rD.()解析：选CD对于A选项，(2)0，而(2)无意义，错误；对于B选项，左侧，右侧无意义，错误C、D均正确2用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：(1)；(2)a3；(3) .解：(1)a.(2)a3a3aaa.(3) b
7、b(a2)ba.有理数指数幂的运算例4(链接教科书第95页例4)计算下列各式：(1)(0.002) 10(2)1()0；(2)(a2b3)(4a1b)(12a4b2c)解(1)原式(1)150010(2)11010201.(2)原式4a21b31(12a4b2c)a3(4)b2(2)c1ac1.指数幂运算的解题通法(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；(5)运算结果不能
8、同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一 跟踪训练计算下列各式(式子中字母都是正数)：(1)0.027；(2).解：(1)0.027()20.090.09.(2)原式2(6)(3)ab4ab04a.1若xy0，则使2xy成立的条件可能是()Ax0，y0 Bx0，y0Cx0，y0 Dx0，y0解析：选B2|xy|2xy，xy0.又xy0，xy0，故选B.2(多选)下列运算结果中，一定正确的是()Aa3a4a7 B(a2)3a6C.a D解析：选ADa3a4a34a7，故A正确；当a1时，(12)31，显然不成立，故B不正确；|a|，故C不正确； ，故D正确故选A、D.3若2a3，则 的化简结果是()A52a B2a5C1 D1解析：选C原式|2a|3a|，2a0，y0)：(1)x_；(2)x_；(3)xy_答案：(1)(2)(3)5计算：(0.008 1)10(0.027)_解析：原式33.答案：