1、章末复习课 整合网络构建 警示易错提醒1关于切线的注意点在确定曲线在某点处切线的方程时，一定要首先确定此点是否为切点，若此点是切点，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不是切点，则需应先设切点，再求斜率，写出直线的方程2求函数单调区间的两个关注点单调区间的求解过程中，应关注两点：(1)不要忽略yf(x)的定义域；(2)增(减)区间有多个时，用“，”或者用“和”连接，切不可用“”连接3函数单调性与导数的关系的注意点若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在(，
2、)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件4可导函数的极值与导数的关系的注意点x0为极值点能推出f(x0)0，但反之不一定f(x0)0是x0为极值点的必要而不充分条件x0是极值点的充要条件是f(x0)0，且x0点两侧导数异号5函数的最值与极值的注意点(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个(2)在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较，不可直接用极大(小)值替代最大(小)值专题1导数的运算与导数的几何意义在导数的运算
3、中，要熟练掌握基本导数公式和运算法则由于函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决例已知函数yxln x.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点x1处的切线方程解：(1)因为yxln x，所以y(xln x)x(ln x)(ln x)x1ln xxln x1(x0)(2)由导数的几何意义得函数的图象在点x1处的切线斜率kyln 111.又当x1时，y1ln 10，即切点为(1，0)，所以所求的切线方程为y01(x1)，即xy10.归纳升华
4、1函数yf(x)在点x0处的导数为f(x0)就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决2求曲线yf(x)过点P(x0，f(x0)的切线方程：设切点Q(x1，f(x1)，则切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)，把点P的坐标代入切线方程解得x1，再回代到切线方程中变式训练已知曲线yxln x的一条切线方程为xyc0.求切点坐标与c的值解：因为yx ln x，所以y1ln xxln x1(x0)设切点为(x0，x0ln x0)由切线方程xyc0知，切线斜率k1.所以ln x011，即x01
5、，x0lnx00.所以切点为(1，0)，所以10c0，即c1.专题2利用导数研究函数的性质把导数作为数学工具，求解单调区间，研究函数的极大(小)值，以及求在闭区间a，b的最大(小)值是本章的重点利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时一定要熟练它们的求解方法例2已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性解：(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x.因为f(x)在x处取得极值，所以f3a20，解得a.经检验满足题意(2)由(1)知g(x)ex，定义域为R，所以g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x
6、)0，解得x0，x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)和(1，0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数归纳升华1利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤：(1)确定函数yf(x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0或f(x)0.(4)不等式的解集与定义域取交集(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间2关于函数的极值、最值与导数的关注点：(1)已知极值点求参数的值后，要回代验证参数值是否满足极值的定义(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即
7、f(x)的正负(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者 变式训练已知函数f(x)x33ax22bx在x1处有极小值1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在闭区间2，2上的最大值和最小值解：(1)f(x)3x26ax2b，因为f(x)在点x1处有极小值1，所以 即解得所以 f(x)x3x2x，f(x)3x22x1.令f(x)0，得x1或x；令f(x)0，得x1.所以 函数f(x)的单调递增区间是和(1，)，单调递减区间是.(2)由(1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x21(1，2)2f(x)00f(x)1012由表
8、中数据知，函数f(x)在x2处取得最大值2，在x2处取得最小值10，所以 函数f(x)在闭区间2，2上的最大值为2，最小值为10.专题3利用导数求参数的取值范围导数中的参数问题实质上是利用导数求解切线问题、单调性问题、极值问题的逆向思维型问题，此类问题主要是利用导数的几何意义及导数与函数的单调性、极值的关系，并结合函数与方程思想、分类讨论思想等来解答的例3已知函数f(x)axln x，若f(x)1在区间(1，)内恒成立，求实数a的取值范围解：由已知得a在区间(1，)内恒成立设g(x)，则g(x).因为x1，所以g(x)0.所以g(x)在区间(1，)内单调递减，所以g(x)g(1)，即g(x)1
9、在区间(1，)内恒成立故a1.归纳升华已知函数的单调性求参数的取值范围可转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f(x)0或f(x)0恒成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使f(x)0的参数是否符合题意变式训练设函数f(x)a2ln xx2ax，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立注：e为自然对数的底数解：(1)因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，所以f(x)的递增区间为(0，a)，递减区间为(a，)(2)由题意得f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2
10、对x1，e恒成立，只要解得ae.专题4分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想，运用分类讨论思想，必须理解为什么分类、如何分类以及最后如何整合，只有分类标准明确，分类才能不重不漏本章中求单调区间、求参数的取值范围、求极值和最值以及恒成立问题，常常用到分类讨论思想例设a0，讨论函数f(x)ln xa(1a)x22(1a)x的单调性解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x).当a1时，方程2a(1a)x22(1a)x10的判别式4(1a)28a(1a)12a216a412(a1).(1)当0a0，f(x)有两个零点，x10，x20，且当0xx2时，f(x)0，f(x)在(0，x1)，(x2，
11、)内均为增函数；当x1xx2时，f(x)0，f(x)在(x1，x2)内为减函数(2)当a0(x0)，f(x)在(0，)内为增函数；(4)当a1时，0，x10，x20，所以f(x)在定义域内有唯一零点x1，且当0x0，f(x)在(0，x1)内为增函数；当xx1时，f(x)0，f(x)在(x1，)内为减函数综上可知，f(x)的单调区间如下表：a的取值范围0a1区间(0，x1)(x1，x2)(x2，)(0，)(0，x1)(x1，)单调性增函数减函数增函数增函数增函数减函数归纳升华分类讨论的原则和步骤1原则：要有明确的分类标准2分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，合理分
12、类，逐类求解，最后归纳总结得出结论 变式训练已知a，b为常数且a0，f(x)x3(1a)x23axb.(1)函数f(x)的极大值为2，求a，b间的关系式；(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间0，3上的最小值为，求a，b的值解：(1)f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1)，令f(x)0，解得x11，x2a，因为a0，所以x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况见下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x1时，f(x)有极大值2，即3a2b3.(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在0，a)上为减函数，在a，3上为增函数，所以f(a)为最小值，f(a)a3a2b.即a3a2b，又有b，于是有a33a23a260，即(a1)327，解得a2，b.若a3，f(x)在0，3上单调递减，则在x3处取得最小值，f(3)27(1a)99ab.又因为3a2b3，解得a3与a3矛盾综上：a2，b.