1、2022精编复习题（三十八） 空间向量及其运算和空间位置关系小题常考题点准解快解1已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则()A9B9 C3D3解析：选B由题意设cxayb，则(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得9.2若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()AlBlClDl与斜交解析：选Ba(1,0,2)，n(2,0，4)，n2a，即an，l.3已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2B.a2C.a2D.a2解析：选C()()(a2cos 6
2、0a2cos 60)a2.4.如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcCabcD.abc解析：选ABB1()c(ba)abc.5(2021云南模拟)已知a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值为()A3B4C5D6解析：选Ca(3,2,5)，b(1，x，1)，ab32x52，解得x5，故选C.6已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VAVBVCVD， ， ， .则VA与平面PMN的位置关系是_解析：如图，设a，b，c，则acb，由题意知bc，abc.因此，共面又VA平面PMN，V
3、A平面PMN.答案：VA平面PMN7已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是_解析：由题意，设，则(，2)，即Q(，2)，则(1，2，32)， (2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，当时有最小值，此时Q点坐标为.答案：大题常考题点稳解全解1已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)令t
4、(tR)，所以t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.因此存在点E，使得b，此时E点的坐标为.2.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4，0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)(1)(2,4,0)
5、，平面ABC的法向量为(0,0,4)，0，DE平面ABC，DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)，(2)22(2)(4)(2)0，B1FEF，(2)222(4)00，B1FAF.AFEFF，B1F平面AEF.3.如图，四棱锥P ABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点求证：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)(
6、1)E，H分别是线段AP，AB的中点，PBEH.PB平面EFH，且EH平面EFH，PB平面EFH.(2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，0021(2)10，0120(2)00.PDAF，PDAH.又AFAHA，PD平面AHF.4.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.连接SO，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且， ，.设t，则t，而0t.即当SEEC21时，.而BE平面PAC，故BE平面PAC.