1、1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学 习 目 标核 心 素 养1了解复合函数的概念(易混点)2理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点).1通过复合函数求导公式的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养2借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)思考：函数ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？提示函数ylog2(x1)是由ylog2u及ux1两个
2、函数复合而成的2复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1已知函数f(x)cos xln x，则f(1)的值为()A1sin 1B1sin 1Csin 11 Dsin 1A因为f(x)sin x，所以f(1)sin 11sin 1.故选A.2函数ysin xcos x的导数是()Aycos2xsin2x Bycos2xsin2xCy2cosxsinx DycosxsinxBy(sin xcos x)cos xcos xsin x(sin x)cos2xsin2x.3函数y的导数是(
3、)A.B.C DCy，y2(3x1).4函数y是由_三个函数复合而成的答案y，uv21，vsin x复合函数的导数【例1】求下列函数的导数(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x.解(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)函数y可看作函数yu3和u2x1的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)4.(3)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x).(4)函数ysin3x可看作函数yu3和usin x
4、的复合函数，函数ysin 3x可看作函数ysin v和v3x的复合函数yx(u3)(sin x)(sin v)(3x)3u2cos x3cos v3sin2x cos x3cos 3x.1解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成2复合函数求导的步骤1求下列函数的导数(1)y103x2；(2)yln(exx2)；(3)y2sin；(4)y.解(1)令u3x2，则y10u，所以yxyuux10uln 10(3x2)3103x2ln 10.(2)令uexx2，则yln u，所以yxyuux(exx2)(ex2x)
5、.(3)设y2sin u，u3x，则yxyuux2cos u36cos.(4)设yu，u12x，则yxyuux(12x)u(2)(12x).复合函数与导数的运算法则的综合应用【例2】求下列函数的导数(1)y；(2)yx；(3)yxcossin.解(1)(ln 3x)(3x)，y.(2)y(x)xx().(3)yxcossinx(sin 2x)cos 2xxsin 4x，ysin 4xcos 4x4sin 4x2xcos 4x.1在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的2复合
6、函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导2求下列函数的导数(1)ysin2；(2)ysin3xsin x3；(3)y；(4)yxln(1x)解(1)y，ysin x.(2)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.(3)y.(4)yxln(1x)xln(1x)ln(1x).导数运算法则的综合应用探究问题1若直线yxb与曲线yex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？提示设P(x0，y0)，由题意可知y|xx0ex0，所以ex01，即
7、x00，点P(0,1)由点P(0,1)在直线yxb上可知b1.2若点P是曲线yex上的任意一点，求点P到直线yx的最小距离？提示如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近，则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为.【例3】(1)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()A.B2C3 D0(2)设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.思路探究：(1)(2)(1)A(2)2(1)设曲线yln(2
8、x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行y，y|xx02，解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线2xy 30的距离为d，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.(2)令yf(x)，则曲线yeax在点(0,1)处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)2.因为f(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a2.1(变条件)本例(1)的条件变为“曲线yln(2x1)上的点到直线2xym0的最小距离为2”，求m的值解由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y|xx02，x0
9、1，即切点P(1,0)，2，解得m8或12.即实数m的值为8或12.2(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积解由题意可知，切线方程为y12x，即2xy10.令x0得y1；令y0得x.S1.本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.1导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中
10、的某一个，再套用公式求导数2和与差的运算法则可以推广f(x1)f(x2)f(xn)f(x1)f(x2)f(xn)3积、商的求导法则(1)若c为常数，则cf(x)cf(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，；(3)当f(x)1时，有.4求简单复合函数f(axb)的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数yf(u)，uaxb的形式，然后再分别对yf(u)与uaxb分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb的形式是关键1函数y(x21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)n Dy(t
11、1)n，tx21答案A2函数y(2 0198x)3的导数y()A3(2 0198x)2 B24xC24(2 0198x)2 D24(2 0198x)2Cy3(2 0198x)2(2 0198x)3(2 0198x)2(8)24(2 0198x)2.3函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2xBy(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.4已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_.f(x)，f(1).5设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切求a，b的值解由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，此即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得a，故a0.