1、第7课时椭 圆(2) 一、 填空题1. 已知椭圆1的焦距为2，则m的值为_答案：5或3解析：当焦点在x轴上时，a2m，b24， c， 1， m5；当焦点在y轴上时，a24，b2m， c， 1， m3.2. 已知以椭圆两焦点F1，F2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e等于_答案：解析：由题意得bc， a2b2c22c2， e.3. 已知椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为_答案：1解析：由2c4，4，a2b2c2，得a28，b24，则该椭圆的方程为1.4. 中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是_答案：
2、1解析：依题意知2a18， a9， 2c2a，c3， b2a2c281972， 椭圆的方程为1.5. 已知椭圆1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有_个答案：6解析：当PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个故符合要求的点P有6个6. 设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上若P到两焦点的距离之比为21，则椭圆的离心率的取值范围是_答案：解析：设P到两个焦点的距离分别是2k，k，根据椭圆定义可
3、知3k2a.又由椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k2c，所以2a6c，即e.因为0e1，所以e1.故椭圆的离心率的取值范围是.7. 已知椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上一点若|的最大值为3c2，其中c，则椭圆M的离心率为_答案：解析： |2a， |a2， a23c2， e2， e.8. 已知椭圆1(ab0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_答案：解析：直线AB2的方程为1，直线B1F的方程为1，则它们的交点的横坐标满足2，而x，可得a2ac2
4、c2，即2e2e10，解得e.9. 已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点若BF2AF2的最大值为5，则b的值是_答案：解析：由题意知a2，所以BF2AF2AB4a8，因为BF2AF2的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当ABx轴时，取得最小值，此时A，B(c，)，代入椭圆方程得1.又c2a2b24b2，所以1，所以，解得b23，所以b.10. 设椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，2，则椭圆C的离心率为_答案：解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，直线l的
5、方程为y(xc)，其中c.联立消去x得(3a2b2)y22b2cy3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2，即2，得离心率e.二、 解答题11. 已知椭圆C的一个焦点为F1(2，0)，相应准线为x8，离心率e.(1) 求椭圆的方程；(2) 求过另一个焦点且倾斜角为45的直线截椭圆C所得的弦长解：(1) 设椭圆上任一点P(x，y)，由统一定义得，两边同时平方得4(x2)2y2(8x)2，化简得1.(2) 设椭圆的另一个焦点为F2(2，0)，过F2且倾斜角为45的直线方程为yx2，与曲线1联立消去y，得7x216x320.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，ABAF2BF
6、2aex1aex22ae(x1x2)24(x1x2).12.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标解：(1) 设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，8，解得a2，c1，于是b，因此椭圆E的标准方程是1.(2) 由(1)知，F1(1，0)，F2(1，0)设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x00，y00.
7、当x01时，l2与l1相交于F1，与题设不符当x01时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1PF1，l2PF2，所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，从而直线l1的方程为y(x1)，直线l2的方程为y(x1).由，解得xx0，y，所以Q.因为点Q在椭圆上，由对称性，得y0，即xy1或xy1.又P在椭圆E上，故1.由解得而无解因此点P的坐标为.13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过点F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解：(1) 由题意，得，且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2) 当ABx轴时，AB.又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1，2，C的坐标为，且AB.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意，从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.因为PC2AB，所以，解得k1.此时直线方程为yx1或yx1.