1、第4课时圆 的 方 程一、 填空题1. 若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则实数a的值为_答案：1解析：因为圆x2y22x4y0的圆心为(1，2)，所以3(1)2a0，解得a1.2. 圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的方程为_答案：(x2)2(y3)25解析：由题意知圆心纵坐标y3，代入直线2xy70得圆心C(2，3)，r222125，所以圆的方程为(x2)2(y3)25.3. 若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_答案：x2(y1)21解析：由圆C的圆心与点(1，0)关于直线yx对称，得圆C的圆心为
2、(0，1)因为圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.4. 若点(1，1)在圆x2y2xym0外，则m的取值范围是_答案：解析：由题意可知解得0m.5. 若圆的方程为x2y2kx4yk20，则当圆的面积最大时，圆心坐标为_答案：(0，2)解析：将圆的方程x2y2kx4yk20化为标准方程为(y2)24. r244， k0时，r最大，此时圆心坐标为(0，2)6. 已知实数x，y满足(x2)2(y1)21，则2xy的最大值为_答案：5解析：令b2xy，则b为直线2xyb在y轴上的截距的相反数，当直线2xyb与圆相切时，b取得最值由1，解得b5，所以2xy的最大值为5.7. 已知平面区
3、域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_答案：(x2)2(y1)25解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆因为OPQ为直角三角形，所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r，因此圆C的方程为(x2)2(y1)25.8. 在圆x2y22x6y0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_答案：10解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长BD22(注：过圆内一定
4、点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC2，且ACBD，因此四边形ABCD的面积为ACBD2210.9. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(1，0)若动点C满足ACBC，则ABC的面积的最大值是_答案：2解析：设满足条件ACBC的C点坐标为(x，y)，则(x1)2y22(x1)22y2，化简得(x3)2y28.其中y0，从而S2|y|2，所以ABC的面积的最大值是2.10. 已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为_答案：6解析：根据题意，画出示意图，如图，则圆心
5、C的坐标为(3，4)，半径r1，且AB2m，因为APB90，连结OP，易知OPABm.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为OC5，所以OPmaxOCr6，即m的最大值为6.二、 解答题11. 已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD4.(1) 求直线CD的方程；(2) 求圆P的方程解：(1) 直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1，2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2) 设圆心P(a，b)，则由P在CD上得ab30. 直径CD4， PA2， (a1)2b240.由解得或 圆心P(3，6)或P(5，2)
6、 圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.12. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成已知隧道总宽度AD为6m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙EA，FD高为2 m，弧顶高MN为5 m.(1) 建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m请计算车辆通过隧道的限制高度是多少解：(1) (解法1)以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系则有E(3，0)，F(3，0)，M(0，3)由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为(x0)
7、2(yb)2r2. F(3，0)，M(0，3)都在圆上， 解得b3，r236.圆的方程是x2(y3)236.(解法2)以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系设所求圆的圆心为G，半径为r，则点G在y轴上，在RtGOE中，OE3，GEr，OGr3.由勾股定理，得r2(3)2(r3)2，解得r6，则圆心G的坐标为(0，3)，故圆的方程是x2(y3)236.(2) 设限高为h，作CPAD，交圆弧于点P，则CPh0.5.将点P的横坐标x代入圆的方程，得()2(y3)236，得y2或y8(舍)所以hCP0.5(yDF)0.5(22)0.53.5(m)答：车辆的限制高度为3.5 m.13. 已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2，3)(1) 求MQ的最大值和最小值；(2) 若M(m，n)，求的最大值和最小值解：(1) 由圆C：x2y24x14y450，化为标准方程得(x2)2(y7)28，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r2.又QC4，所以MQmax426，MQmin422.(2) 由题意可知表示直线MQ的斜率设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有公共点，所以2，解得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.
