1、2019-2020学年广东省广州市越秀区培正中学高二第二学期期中数学试卷一选择题（共12小题）1已知复数（其中i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（）ABCiDi2已知函数f（x），则（）A1B0CD3已知复数z满足zi2+i，i是虚数单位，则|z|（）ABC2D4若函数f（x）满足，则f（1）的值为（）A0B1C2D35函数f（x）xexex+1的单调递增区间是（）A（，e）B（1，e）C（e，+）D（e1，+）6设f（x）是函数f（x）的导函数，yf（x）的图象如图所示，则yf（x）的图象最有可能的是（）ABCD7已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系
2、数和为（）A212B211C210D298工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为（）A140B100C80D709已知函数f（x）x3+ax2+bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为（）AB2C2或D2或10由“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P（A|B）（）ABCD11设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X3）等于（）ABCD12已知奇函数f（x）和其导函数f（x）的定义域均为R，当x（
3、0，+）时，3f（x）+xf（x）0，则不等式（x1）3f（x1）8x3f（2x）0的解集为（）A（，1）B（1，）C（，1）（0，）D（1，0）（）二填空题（共4小题）13某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，三人间是否当选相互独立，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为，则至多有两人当选的概率为 14正弦曲线ysinx上一点P，正弦曲线的以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 15若函数f（x）2x2lnx在其定义域内的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是 16设函数f（x）ex（x1），函数g（x）mx，若对于任意的x12，2，总存在x21，2，
4、使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是 三解答题（共6小题）17复数zm（m1）+（m1）i（mR）（）实数m为何值时，复数z为纯虚数；（）若m2，计算复数18某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列和期望19已知在（）n的展开式中，第6项为常数项（1）求n； （2）求含x2项的系数；
5、（3）求展开式中所有的有理项20用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？21已知函数f（x）exax1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x2x恒成立，求实数a的取值范围22已知函数f（x）ax2+（a2）xlnx（）若函数f（x）在x1时取得极值，求实数a的值；（）当0a1时，求f（x）零点的个数参考答案一选择题（共12小题）1已知复数（其中i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（）ABCiDi【分析】直接利用共轭复数的定义求解解：
6、复数，共轭复数，共轭复数的虚部为，故选：B2已知函数f（x），则（）A1B0CD【分析】根据函数在某一点处的导数定义，求出f（x），计算即可解：函数，f（x）x，其中x；f（1）1故选：A3已知复数z满足zi2+i，i是虚数单位，则|z|（）ABC2D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算解：由zi2+i，得，|z|，故选：D4若函数f（x）满足，则f（1）的值为（）A0B1C2D3【分析】先根据f（x）x3f（1）x2x求导，再把x1代入，求f（1）的值即可【解答】解；求函数f（x）x3f（1）x2x的导数，得，f（x）x22f（1）x1， 把x1代
7、入，得，f（1）12f（1）1，f（1）0，故选：A5函数f（x）xexex+1的单调递增区间是（）A（，e）B（1，e）C（e，+）D（e1，+）【分析】求函数的导数，解f（x）0，即可求出函数的单调递增区间解：函数yxexex+1（xe）ex，f（x）ex+（xe）ex，由f（x）0得ex（1+x）ex+1，即xe1，即函数的单调增区间为（e1，+）故选：D6设f（x）是函数f（x）的导函数，yf（x）的图象如图所示，则yf（x）的图象最有可能的是（）ABCD【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数
8、单调递减确定原函数的单调增减区间解：由yf（x）的图象易得当x0或x2时，f（x）0，故函数yf（x）在区间（，0）和（2，+）上单调递增；当0x2时，f（x）0，故函数yf（x）在区间（0，2）上单调递减；故选：C7已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A212B211C210D29【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n3+710（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：29故选：D8工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教
9、师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为（）A140B100C80D70【分析】本题是一个分类问题，从4名女教师，5名男教师中选3名教师，要求男、女教师都有，共有1个男教师2个女教师；2个男教师1个女教师两种情况，利用组合数表示出两种情况的结果，相加得到结果数解：由题意知本题是一个分类问题，从4名女教师，5名男教师中选3名教师，要求男、女教师都有，共有1个男教师2个女教师；2个男教师1个女教师两种情况，共有C41C52+C42C5140+3070种结果，故选：D9已知函数f（x）x3+ax2+bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为（）AB2C2或D2或【分析】求出f
10、（x）3x2+2ax+b，利用函数的极值，f（1）3+2a+b0，f（1）1+a+ba27a10，于是有b32a，代入f（1）10即可求得a，b，从而可得答案解：f（x）x3+ax2+bxa27a，f（x）3x2+2ax+b，又f（x）x3+ax2+bxa27a在x1处取得极大值10，f（1）3+2a+b0，f（1）1+a+ba27a10，a2+8a+120，a2，b1或a6，b9当a2，b1时，f（x）3x24x+1（3x1）（x1），当x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，f（x）在x1处取得极小值，与题意不符；当a6，b9时，f（x）3x212x+93（x1）（x3）当x1时，f（x
11、）0，当x3时，f（x）0，f（x）在x1处取得极大值，符合题意；则故选：A10由“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P（A|B）（）ABCD【分析】直接利用条件概率的计算公式求解即可解：P（B），P（AB），P（A|B），故选：B11设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X3）等于（）ABCD【分析】根据X3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得结果解：X3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品故P（X3），故选：C12已知奇函数f（x）和
12、其导函数f（x）的定义域均为R，当x（0，+）时，3f（x）+xf（x）0，则不等式（x1）3f（x1）8x3f（2x）0的解集为（）A（，1）B（1，）C（，1）（0，）D（1，0）（）【分析】令g（x）x3f（x），求出函数的导数，得到函数g（x）的单调性和奇偶性，得到关于x的不等式，解出即可解：令g（x）x3f（x），x（0，+）时，g（x）x23f（x）+xf（x）0，故函数g（x）是（0，+）上的减函数，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，由不等式（x1）3f（x1）8x3f（2x）0，得g（x1）g（2x），故|x1|2x|，解得：1x，故选：B二填空题（共4小题）13某班甲、乙、
13、丙三名同学竞选班委，三人间是否当选相互独立，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为，则至多有两人当选的概率为【分析】至多有两人当选的对立事件是三人都当选，由此利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出至多有两人当选的概率解：某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，三人间是否当选相互独立，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为，至多有两人当选的对立事件是三人都当选，至多有两人当选的概率为：P1故答案为：14正弦曲线ysinx上一点P，正弦曲线的以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是0，）【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函
14、数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据ktan，结合正切函数的图象求出角的范围，再根据导数的几何意义可知ktan，结合正切函数的图象求出角的范围解：根据题意得f（x）cosx，1cosx1，则曲线yf（x）上切点处的切线的斜率1k1，又ktan，结合正切函数的图象由图可得0，），故答案为：0，）15若函数f（x）2x2lnx在其定义域内的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是1，）【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解解：因为f（x）定义域为（0，+），又f（x）4x，由f（x）0，得x据题意，
15、解得1k故答案为：1，）16设函数f（x）ex（x1），函数g（x）mx，若对于任意的x12，2，总存在x21，2，使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是【分析】本题关键是转化化归思想与分类讨论思想的应用由对于任意的x12，2，总存在x21，2，使得f（x1）g（x2），想到 f（x1）ming（x2）min恒成立，将存在性问题转化为恒成立问题利用导数求函数f（x）ex（x1）在2，2上最值解：f（x）ex（x1），f（x）xex，对于任意的x2，2，当x2，0）时，f（x）0，当x（0，2时，f（x）0， 即f（x）在2，0）上为减函数，在（0，2上为增函数x0为f（x）在2，2上的
16、极小值点，也是最小值点且最小值为f（0）1，对于任意的x12，2，f（x1）min1，而总存在x21，2，使得f（x1）g（x2），f（x1）ming（x2）ming（x）mx，m0时，g（x2）0，不合题意 m0时，g（x2）mx2m，2m，此时m1，不合题意m0时，g（x2）mx22m，m，g（x2）min2m，2m1， 故答案为：三解答题（共6小题）17复数zm（m1）+（m1）i（mR）（）实数m为何值时，复数z为纯虚数；（）若m2，计算复数【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求出，（2）先根据共轭复数的定义和复数的运算法则计算即可解：（1）欲使z为纯虚数，则须m（m1）0且m10，所以
17、得m0；（2）当m2时，z2+i，2i，故所求式子等于18某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列和期望【分析】（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得P（A）（1）（1）（2）由题可得设企业可获得利润为，则X的取值有90，50，80，220由独立试验的
18、概率计算公式可得，P（X0）（1）（1），P（X50），P（X80），P（X220）解：（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A，则P（A）（1）（1）（2）由题可得设企业可获得利润为，则X的取值有90，50，80，220由独立试验的概率计算公式可得，P（X0）（1）（1），P（X50），P（X80），P（X220）的分布列如下：X905080220P 则数学期望E（X）50220121.5万元19已知在（）n的展开式中，第6项为常数项（1）求n； （2）求含x2项的系数； （3）求展开式中所有的有理项【分析】（1）由二项式定理，可得（）n的展开式的通项，又由题意，可得当r5时，x的指数为0，
19、即，解可得n的值，（2）由（1）可得，其通项为Tr+1（）rC10r，令x的指数为2，可得，解可得r的值，将其代入通项即可得答案；（3）由（1）可得，其通项为Tr+1（）rC10r，令x的指数为整数，可得当r2，5，8时，是有理项，代入通项可得答案解：（1）根据题意，可得（）n的展开式的通项为，又由第6项为常数项，则当r5时，即0，解可得n10，（2）由（1）可得，Tr+1（）rC10r，令，可得r2，所以含x2项的系数为，（3）由（1）可得，Tr+1（）rC10r，若Tr+1为有理项，则有，且0r10，分析可得当r2，5，8时，为整数，则展开式中的有理项分别为20用长为90cm，宽为48cm
20、的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【分析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V（902x）（482x）x4x3276x2+4320x，（0x24）求导可得到：V12x2552x+4320由V12x2552x+43200得x110，x236所以当x10时，V0，当10x36
21、时，V0，当x36时，V0，所以，当x10，V有极大值V（10）19600，又V（0）0，V（24）0，所以当x10，V有最大值V（10）19600故答案为当高为10，最大容积为1960021已知函数f（x）exax1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x2x恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）求导f（x）exa，然后分a0和a0两类讨论函数的单调性即可；（2）因为f（x）x2x（x0）恒成立，所以采用参变分离法可知，然后构造函数，并求导得，为了判断h（x）的正负性，需要再构造函数g（x）exx1，并判断其正负性，从而确定函数f（x）的单调性，求得h（x）minh（1）
22、e1，进而得知实数a的取值范围解：（1）函数的定义域为一、选择题，f（x）exa，若a0，则f（x）0，所以f（x）在R上单调递增；若a0，令f（x）exa0，则xlna，当x（，lna）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（lna，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；综上所述，当a0时，f（x）在R上单调递增；当a0时，当x时，f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增（2）当x0时，f（x）x2x，即，令，则，令g（x）exx1（x0），则g（x）ex10，当x0时，g（x）单调递增，g（x）g（0）0，所以当0x1时，h（x）0，h（x）单调递减，当x1时，h（x）
23、0，h（x）单调递增，故h（x）minh（1）e1，所以a的取值范围是（，e122已知函数f（x）ax2+（a2）xlnx（）若函数f（x）在x1时取得极值，求实数a的值；（）当0a1时，求f（x）零点的个数【分析】（ I）求出函数的f（x）定义域为（0，+），导函数通过导函数的符号判断函数的单调性然后求解函数的极值，推出a即可（ II ）令，由0a1，得求出函数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可【解答】（共14分）解：（ I）f（x）定义域为（0，+）.由已知，得f（1）0，解得a1当a1时，所以f（x）00x1，f（x）0x1所以f（x）减区间为（0，1），增区间为（1，+）所以函数f（x）在x1时取得极小值，其极小值为f（1）0，符合题意所以a1（ II ）令，由0a1，得所以所以f（x）减区间为，增区间为所以函数f（x）在时取得极小值，其极小值为因为0a1，所以所以所以因为，又因为0a1，所以a2+e0所以根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点因为xlnx，f（x）ax2+（a2）xlnxax2+（a2）xxx（ax+a3）令ax+a30，得又因为0a1，所以所以当时，f（x）0根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点所以，当0a1时，f（x）有两个零点
