1、第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1过点(2,4)作与抛物线y28x只有一个公共点的直线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：点(2,4)在抛物线上，与抛物线只有一个公共点的直线有2条，即一条与抛物线相切，另一条与对称轴平行故选B.答案：B2已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C D解析：A(2,3)在y22px的准线x上，2，p4.y22px的焦点F(2,0)，kAF.故选C.答案：C3(2019衡水月考)已知抛物线C：y24x的焦点为F，点P在抛物线C上，以PF为半径的圆P与y轴
2、交于A，B两点，O为坐标原点，若7，则圆P的半径r()A2 B3C4 D5解析：设P(a，b)，则4ab2，F(1,0)，r|PF|a1，则圆P的方程为(xa)2(yb)2(a1)2，令x0，则y22byb22a10，y1y2b22a1，y1y22b.设A(0，y1)，B(0，y2)，7，y27y1.又y1y22b，y1y2b22a1，y1，y2，a4，r5，故选D.答案：D4(2019甘谷一中期中)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点若|AF|6，|BF|3，则p的值为()A2 B4C8 D4解析：如图所示，A，B在准线l上的射影分别为A，B.作BNAA于N，则
3、|AF|AA|6，|BF|BB|3，|AN|AA|BB|3，cos NAB，tan NAB2，kAB2，设AB的方程为y2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x25pxp20，x1x2，|AB|x1x2pp9，p4.故选B.答案：B5设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析：当直线l的斜率不存在且0r5时，必有两条直线满足题设，当直线l的斜率存在时，设斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，M(x0，y0
4、)，2x0x1x2,2y0y1y2，yy4(x1x2)，即k.直线AB与圆相切，切点为M，则1，x03.(x0，y0)在抛物线内部，y4x0，y0)的准线经过双曲线x2y21的左顶点，则p_.解析：抛物线y22px(p0)的准线方程为x，双曲线x2y21的左顶点为(1,0)，由题意得1，p2.答案：28过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析：如图所示过点A作AA垂直准线，交准线于A，过点B作BB垂直准线，交准线于B，|AF|AA|3，又F(1,0)，A(2,2)AB的方程为y2(x1)，代入y24x，得2x25x20，解得x2或x，|BF|1.答案
5、：9(2019北京西城模拟)已知点A(2,1)，抛物线y24x的焦点为F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|PF|最小，则最小值为_；此时P点的坐标为_解析：120)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AB|8.(1)求直线l的方程；(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，且x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此直线l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或若圆心为(3,2)，则AB为直径，半径为4，圆的方程为(x3)2(y2)216，若圆心为(11，6)，则圆的半径r2242144，圆的方程为(x11)2(y6)2144.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.