1、13.2.2空间两条直线的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1.会判断空间中直线与直线的位置关系(重点)2能应用基本事实4和等角定理解决简单的立体几何问题(难点)3了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说明异面直线所成的角(难点)1.通过对空间两条直线位置关系和异面直线概念的学习，培养学生直观想象素养2通过计算异面直线所成的角，培养学生数学运算素养.在平面几何中，两条直线的位置关系有哪些？观察教室中的墙角线、日光灯所在的直线，说说空间两条直线有哪些位置关系？在空间，平行于同一条直线的两条直线仍然互相平行么？如何求没有公共点且不共面的直线所成的角？1空间两条直线的位置关系2基本事实4及等
2、角定理(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行符号表示：ac.(2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等3异面直线的判定及其所成的角(1)异面直线的判定定理定理文字语言符号表示图形语言异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线若l，A，B，Bl，则直线l与AB是异面直线思考：不在同一平面内的两条直线是否是异面直线？提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件异面直线既不相交，也不平行(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a，b，即a、b分别在两个不
3、同的平面内，但是因为abO，所以a与b不是异面直线(2)异面直线所成的角定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角异面直线所成的角的取值范围：090.当时，a与b互相垂直，记作ab.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)如果ab，bc，则ac.()(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线()(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交()(4)如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面()答案(1)(2)(3)(4)2已知棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为
4、CD，AD的中点，则MN与AC的位置关系是_平行如图所示，MNAC，又ACAC，MNAC.3已知ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR等于_30或150ABC的两边与PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以PQR30或150.4已知a，b是异面直线，直线c直线a，则c与b的位置关系是_相交或异面a，b是异面直线，直线c直线a，因而c不平行于b，若cb，则ab，与已知矛盾，因而c不平行于b，即c与b相交或异面空间中直线的位置关系【例1】(1)下列命题中正确的有_(填序号)两条直线无公共点，则这两条直线平行；两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；过平面外一点与平面内一点的直线
5、与平面内的任意一条直线均构成异面直线；和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线(2)a，b，c是空间中三条直线，下列给出几个说法：若ab，bc，则ac；ab是指直线a，b在同一平面内且没有公共点；若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行其中正确的有_(填序号)思路点拨根据空间两直线位置关系的有关概念及基本事实4进行判断(1)(2)(1)对于，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此不正确；对于，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以正确；对于，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此不正确；对于，和两条异面直线都相交的两
6、直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此不正确(2)由基本事实4知正确；由平行线的定义知正确；若l，a，b，al，bl，则ab，错误空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面跟进训练1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_平行异面相交异面直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行”；点A1，B，B
7、1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面同理，直线AB与直线B1C异面，所以都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C显然相交于点D1，所以应该填“相交”基本事实4与等角定理的应用探究问题1如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，若E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点那么四边形EFGH是什么四边形？为什么？提示平行四边形因为在PAB中，E，F分别是PA，PB的中点，EFAB，同理GHDC四边形ABCD是平行四边形，ABCD，EFGH，四边形EFGH是平行四边形2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么
8、结论？提示这两条直线所成的锐角(或直角)与另两条直线所成的角相等或互补【例2】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点求证：EA1FE1CF1.思路点拨解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A1ECE1，A1FCF1，然后根据等角定理，得出结论证明如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，MF1，则BFA1MAB又BFA1M，四边形A1FBM为平行四边形，A1FBM.而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1MC1B1.而C1B1BC，F1MBC，且F1MBC四边形F1MBC为平行四边
9、形，BMF1C又BMA1F，A1FCF1.同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1NDE，四边形A1NDE为平行四边形，A1EDN.又E1NCD，且E1NCD，四边形E1NDC为平行四边形，DNCE1，A1ECE1.EA1F与E1CF1的两边分别对应平行即A1ECE1，A1FCF1，且EA1F与E1CF1均为锐角，EA1FE1CF1.运用基本事实4的关键是寻找“中间量”即第三条直线证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现跟进训练2如图，已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2
10、)求证：DNMD1A1C1.证明(1)在ADC中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ADC的中位线MNAC由正方体性质知，ACA1C1，MNA1C1，即MNA1C1.四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1，又因为NDA1D1，而DNM与D1A1C1均是直角三角形的锐角，DNMD1A1C1.求异面直线所成的角【例3】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小思路点拨先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解解法一：如图(1)，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1
11、G，C1G，则OGB1D，EFA1C1，GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角(1)GA1GC1，O为A1C1的中点GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90.法二：如图(2)，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，HF，则HEDB1，且HEDB1.(2)于是HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角设AA11.则EF，HE，取A1D1的中点I，连接IF，IH，则HIIF，HF2HI2IF2，HF2EF2HE2.HEF90，异面直线DB1与EF所成的角为90.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接DQ，B1Q，则B1QEF.(3)于是DB1Q为异面直线DB
12、1与EF所成的角或其补角设AA11，则DQ，B1D，B1Q，所以B1D2B1Q2DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角跟进训练3如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为_连接BC1，
13、易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.1本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题难点是求异面直线所成的角2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法(2)证明两条直线平行的方法(3)求异面直线所成角的解题步骤3本节课的易错点是求异面直线所成的角1分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是()A平行B相交C异面D以上皆有可能答案D2在各棱长
14、均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为()A B1C DC如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1MPB，则PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为2，则PN，PB，BN，所以PN2BN2PB2，所以PNB90，在RtPBN中，tanPBN，故选C3空间中有一个A的两边和另一个B的两边分别平行，A70，则B_.70或110A的两边和B的两边分别平行，AB或AB180，又A70，B70或110.4如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AEEBAHH
15、Dm，CFFBCGGDn.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD，试证明：EGFH.解(1)证明：因为AEEBAHHD，所以EHBD又CFFBCGGD，所以FGBD，所以EHFG，所以E，F，G，H四点共面(2)当EHFG，且EHFG时，四边形EFGH为平行四边形因为，所以EHBD同理可得FGBD，由EHFG，得mn.故当mn时，四边形EFGH为平行四边形(3)证明：当mn时，AEEBCFFB，所以EFAC，又EHBD，所以FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为ACBD，所以FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EGFH.
