1、第节空间向量在立体几何中的应用 【选题明细表】知识点、方法题号平行与垂直问题1、3、8空间角2、4、5、7、9空间距离6、11开放性问题及综合应用10一、选择题1.(2012大同月考)若直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,有可能使l的是(D)(A)a=(1,0,0),n=(-2,0,0)(B)a=(1,3,5),n=(1,0,1)(C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)(D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析:若l,则an=0.而选项A中an=-2.选项B中an=1+5=6.选项C中an=-1,选项D中an=-3+3=0,故选D.2.(2012广东六校联合高三质量调研)在
2、棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值为(A) (A)(B)(C)(D)解析:以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,=,=.故=01+0+1=,|=,|=,cos =,即直线AM与CN所成角的余弦值为.故选A.3.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(B)(A)EF至多与A1D,AC之一垂直(B)EFA1D,EFAC(C)EF与BD1相交(D)E
3、F与BD1异面解析:以D点为坐标原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1, 则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.故选B.4.如图所示,ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF.当A1、E、F、C1共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为(B) (A)(B)(C)(D)解析:以D为
4、原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时,A1、E、F、C1共面,设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得可取n1=(-1,2,1),同理可得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为=.故选B.5. (2013成都高三模拟)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,则BB1与平面AB1C1所成的角为(A) (A)(B)(C)(D)解析:取AB中点O为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则A(1,0,
5、0),B(-1,0,0),B1(-1,0,3),C1(0,3),=(0,0,3),=(-2,0,3),=(-1,3).设n=(x,y,z)为平面AB1C1的法向量,则即令x=3,则n=(3,-,2).设BB1与平面AB1C1所成的角为,则sin =|cos|= |=.=.故选A.二、填空题6.已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到平面AB1D1的距离是.解析:如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(2,0,4),A(2,0,0), B1(2,2,4),D1(0,0,4),=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的法
6、向量为n=(x,y,z),则即解得x=2z且y=-2z,不妨设n=(2,-2,1),设点A1到平面AB1D1的距离为d,则d=.答案:7.(2012合肥月考)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角CABD的余弦值为,M、N分别是AC、BC的中点,则EM、AN所成角的余弦值等于.解析:过C点作CO平面ABDE,垂足为O,取AB中点F,连接CF、OF,则CFO为二面角CABD的平面角, 设AB=1,则CF=,OF=CFcosCFO=,OC=,则O为正方形ABDE的中心,如图所示建立直角坐标系Oxyz,则E,M,A,N,=,=,cos=.答案:三、解答题8. (2013成都市高三模拟
7、)在四棱锥PABCD中,ABCD,ABAD,AB=4,AD=2,CD=2,PA平面ABCD,PA=4.(1)设平面PAB平面PCD=m,求证:CDm;(2)求证:BD平面PAC.证明:(1)因为ABCD,CD平面PAB,AB平面PAB,所以CD平面PAB.因为CD平面PCD,平面PAB平面PCD=m,所以CDm.(2)因为AP平面ABCD,ABAD,所以以A为坐标原点,AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(4,0,0),P(0,0,4),D(0,2,0),C(2,2,0),所以=(-4,2,0),=(2,2,0),=(0,0,4),所以=(-4)2+22+0
8、0=0,=(-4)0+20+04=0,所以BDAC,BDAP.因为APAC=A,AC平面PAC,PA平面PAC,所以BD平面PAC.9.如图所示,已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD的中点. (1)证明:PEBC;(2)若APB=ADB=60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.(1)证明:以H为原点,HA、HB、HP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示, 设HA=1,则A(1,0,0),B(0,1,0).设C(m,0,0),P(0,0,n)(m0),则D(0,m,0),E.可得=,=(m,-1,0).因为=-+0
9、=0,所以PEBC.(2)解:由已知条件及(1)可得m=-,n=1,则P(0,0,1).=,=(-1,0,1).易知为平面PEH的一个法向量.|cos|=,因此直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.10. (2013成都市双流中学高三月考)如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=2AA1,ABC=90,D是BC的中点. (1)求证:A1B平面ADC1;(2)求二面角C1ADC的余弦值;(3)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60 角?若存在,确定E点位置,若不存在,说明理由. (1)证明:连接A1C,交AC1于点O,连接OD.由ABCA1B1C1是直三棱柱得四边形A
10、CC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,所以OD为A1BC的中位线,所以A1BOD.因为OD平面ADC1,A1B平面ADC1, 所以A1B平面ADC1.(2)解:由于ABCA1B1C1是直三棱柱,且ABC=90,故BA、BC、BB1两两垂直.如图所示建立空间直角坐标系.设BA=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),D(0,1,0).所以 =(-2,1,0),=(-2,2,1).设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z),则有所以 取y=1,得n=（,1,-1）.易知平面ADC的一个法向量为v=(0,0,1).由于二面角C1ADC是锐角且c
11、os=-.所以二面角C1ADC的余弦值为.(3)解:假设存在满足条件的点E.因为E在线段A1B1上,A1(2,0,1),B1(0,0,1),故可设E(,0,1),其中02.所以 =(-2,0,1),=(0,1,1).因为AE与DC1成60角,所以=.即=,解得=1或=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60角.11.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1平面BDA1.(1)求证:CD=C1D;(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值;(3)求点C到平面B1D
12、P的距离.(1)证明:连接AB1与A1B交于点F,则F为AB1的中点,再连接DF.PB1平面BDA1,PB1平面PB1A,平面PB1A平面BDA1=DF,PB1DF,D为AP的中点.在PAA1中,DC1AA1,C1为A1P的中点,易得ACDPC1D,CD=C1D.(2)解:以A1为原点,分别以A1B1、A1C1、A1A所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.AB=AC=AA1=1,B1(1,0,0),P(0,2,0),D,B(1,0,1),C(0,1,1),由于A1B1平面AA1D,平面AA1D的一个法向量n1=(1,0,0).设平面BA1D的法向量为n2=(x,y,z).=(1,0,1),=,取z=2,n2=(-2,-1,2).cos=-.由图形可得,二面角AA1DB的平面角的余弦值为.(3)解:设平面B1DP的法向量为n3=(x,y,z),=(-1,2,0),=,取z=2,则y=1,x=2,n3=(2,1,2),又=,点C到平面B1DP的距离d=.
