1、第3节平面向量的数量积及平面向量的应用 【选题明细表】知识点、方法题号向量的数量积2、4、5、10长度及夹角、垂直问题1、3、7、11、12、14、15平面向量的应用6、8、9、13、16一、选择题1.(2013年高考大纲全国卷)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则等于(B)(A)-4(B)-3(C)-2(D)-1解析:m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),由题意知(m+n)(m-n)=0,即-(2+3)-3=0,因此=-3.故选B.2.(2013年高考湖北卷)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为
2、(A)(A)(B)(C)-(D)-解析:=(2,1),=(5,5),设,的夹角为,则在方向上的投影为|cos =.故选A.3.若向量a、b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60,则|a+b|等于(B)(A)2(B)2(C)4(D)12解析:|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cos 60=4+4+222=12,|a+b|=2.故选B.4.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(B)(A)ab(B)ab(C)|a|=|b|(D)a+b=a-b解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,即a2+2ab+b2=a2-2
3、ab+b2,得ab=0,故ab,故选B.法二几何法:如图所示,在ABCD中,设=a,=b,则=a+b,=a-b,|a+b|=|a-b|,平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,ab,故选B.5.在ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则等于(D)(A)-(B)-(C)(D)解析:cosBAC=,=|cosBAC=32=.故选D.6.(2013浙江金丽衢十二校联考)在ABC中,=(cos 18,cos 72),=(2cos 63,2cos 27),则角B等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:=2cos 18cos 63+2cos 72cos 27=2sin 27cos 18+
4、2cos 27sin 18=2sin(27+18)=2sin 45=.而|=1,|=2,cos B=,又B(0,),B=.故选B.7.(2013河北唐山一模)已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为(C)(A)(B)(C)(D)解析:设a与b的夹角为,由|a|=1,|b|=2,得(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2=1+12cos -24=-6,解得cos =.再由0可得=.故选C.8.(2012年高考江西卷)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则等于(D)(A)2(B)4(C)5(D)10解析:建系如图所示
5、,设A(a,0),B(0,b),D,P,.=,-,=-,=-,-,|2=+,|2=+.|2=+,=10.故选D.二、填空题9.一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1、F2成60角,且F1、F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.解析:由题意知F3=-(F1+F2),|F3|=|F1+F2|,|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos 60=28,|F3|=2.答案:210.(2013河南洛阳市模拟)正三角形ABC中,D是边BC上的点,AB=3,BD=1,则=.解析:法一=33cos 60=,=+=+=+(-)=+,=+=+=.法二以
6、B为原点,BC所在的直线为x轴,建立坐标系,则B(0,0),A,D(1,0).所以=-,-,=-,-,所以=-+-2=.答案:11.(2013年高考安徽卷)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.解析:因|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4ab整理得cos=-=-.答案:-12.(2013年高考天津卷)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若=1,则AB的长为.解析:如图=(+)(+)=(+)(-)=-+-=|-|2+1=1.得|=|=,则AB的长为.答案:13.(2013河南郑州市模拟)ABC中,A=120,=-1,
7、则|的最小值为.解析:A=120,=-1,|cos 120=-1,|=2,|2=(-)2=+-2=|2+|2+22|+2=6,当且仅当AB=AC=时取等号,所以|的最小值为.答案:三、解答题14.已知a=(1,2),b=(-2,n)(n1),a与b的夹角是45.(1)求b;(2)若c与b同向,且a与c-a垂直,求c.解:(1)ab=2n-2,|a|=,|b|=,cos 45=,3n2-16n-12=0(n1).n=6或n=-(舍).b=(-2,6).(2)由(1)知,ab=10,|a|2=5.又c与b同向,可设c=b(0).(c-a)a=0,ba-|a|2=0.=.c=b=(-1,3).15.
8、设a=(1+cos x,1+sin x),b=(1,0),c=(1,2).(1)求证:(a-b)(a-c);(2)求|a|的最大值,并求此时x的值.(1)证明:由已知得a-b=(cos x,1+sin x),a-c=(cos x,sin x-1),则(a-b)(a-c)=(cos x,1+sin x)(cos x,sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0.故(a-b)(a-c).(2)解:|a|=+1.当sin=1,即x=+2k(kZ)时,|a|有最大值+1.16.(2013年高考陕西卷)已知向量a=cos x,-,b=(sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在0,上的最大值和最小值.解:f(x)=cos x,-(sin x,cos 2x)=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=cossin 2x-sincos 2x=sin2x-.(1)f(x)的最小正周期为T=,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x,-2x-.由正弦函数的性质,知当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-,因此,f(x)在0,上的最大值是1,最小值是-.