1、专题33 均值不等式一学习目标【学习目标】会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力二知识点【知识要点】1.不等式建模应用问题实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题假设建模求解模型检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.2.不等式综合应用类型类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题.类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及
2、根的个数等问题.类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等.类型4：探究数列的递增(递减)性，前n项和的最值等问题.3基本不等式(1)a2b22ab；变式：ab；当且仅当ab时等号成立；(2)如果a0，b0，则；变式：ab，当且仅当ab时，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数4(1)若a0，b0，且abP(定值)，则由ab可知，当ab时，ab有最大值；(2)若a0，b0且abS(定值)，则由ab22可知，当ab时，ab有最小值2.三题型方法规律总结1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一
3、类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与
4、圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.四高考题型及命题陷阱1.均值不等式配常数例1若圆关于直线
5、对称，则的最小值为（ ）A. 1 B. 5 C. D. 4【答案】D练习1已知，则的最小值为（ ）A. 3 B. 2 C. 4 D. 1【答案】A【解析】，当 时等号成立，即的最小值为，故选A.【易错点防范】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.2已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为（ ）A. B. C. D
6、. 【答案】D【方法总结】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.3在下列函数中，最小值为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】选项可以是负数. 选项，等号成立时时，在定义域内无法满足. 选项，等号成立时，在实数范围内无法满足.由基本不等式知选项正确.2.“1”的变通例2. 已知正数x、y满足，则的最小值是 .【答案】8【解析】试题分析：由（当且仅当即时等号成立）.练习1. 已知， ，且，则的最小值为_【答案】2.若，
7、 ，则的最小值为_【答案】【解析】 【方法总结】：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.3已知， ，则的最大值为_【答案】【解析】又令，则，当且仅当时取等号的最大值为故答案为【易错点分析】：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否
8、成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立.3.恒成立问题例3. 已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不等式化为：2（x1）+m2，x1，2（x1）+2=4，当且仅当x=2时取等号不等式对一切x（1，+）恒成立，m24，解得m6，故选：D【方法总结】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误练习1.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A
9、. B. C. D. 【答案】C【方法总结】：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误2.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】 所以 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4.不等式与其它知识的综合、例4. 在中， ， ， 的交点为，过作动直
10、线分别交线段 于两点，若， ，（ ），则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由A,M,D三点共线可知，存在实数t，使得,同理由C,M,B三点共线，存在实数m，使得,所以有 ，解得 ，所以,设，所以 ，所以 ，即 ，所以的最小值为，选D.【方法总结】：本题主要考查平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，基本不等式的应用，属于中档题。练习1. 在中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，若不等式对恒成立，则的最小值为（ ）A. -4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】B【方法总结】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理
11、能力与计算能力，属于中档题在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用等。2已知抛物线： 的焦点为，过点分别作两条直线， ，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）A. 16 B. 20 C. 24 D. 32【答案】C【解析】易知直线， 的斜率存在，且不为零，设 ，直线的方程为，联立方程，得， ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，又 （当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.3.设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时， 的最大值为_【答案】1【解析】由x23x
12、y4y2z0，得zx23xy4y2，1，当且仅当x2y时取等号此时z2y2，()2(1)211.故答案为：14.在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为_【答案】4【解析】因为等比数列各项都为正数，所以，故答案为.5.均值不等式的实际应用例5十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划. 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆），需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2018年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数
13、关系式；（利润=销售额-成本）（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.解析：（1）当时， ；当时， ；.（2）当时， ，当时， ；当时， ，当且仅当，即时， ；当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.练习1一种设备的单价为元，设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数）.用表示设备使用的年数，记设备年平均费用为，即 (设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数.（）求关于的函数关系式；（）当， 时，求这种设备的最佳更新年限.【答案】（）;（）15年【解析】
14、试题分析：()由题意可知设备维修和消耗费用构成以为首项， 为公差的等差数列，结合等差数列前n项和公式可得()由题意结合均值不等式的结论有，则，当且仅当时，年平均消耗费用取得最小值，即设备的最佳更新年限是15年.试题解析：（）由题意，设备维修和消耗费用构成以为首项， 为公差的等差数列，因此年维修消耗费用为于是（），所以， ， 当且仅当，即， 时，年平均消耗费用取得最小值所以设备的最佳更新年限是15年【方法规律】：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不
15、等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解22017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级。最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？【答案】使用600天，平均每天耗资。3设某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少
16、10层，每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为 (单位：元)(1)写出楼房每平方米的平均综合费用关于建造层数的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)【答案】（1）y56048x (x10，xN*)；（2）该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元.【解析】试题分析：（1）由已知得，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均地皮费用的和，由已知中某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块
17、上建造一栋x层，每层2000平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）由（1）中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，利用基本不等式，求最小值 试题解析：(1)依题意得y(56048x)56048x(x10，xN*)(2)x0，48x21440，当且仅当48x，即x15时取到“”，此时，平均综合费用的最小值为56014402000(元)当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元【解题方法总结】：函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取
18、值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一4服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2017年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时，利润最大？【答案】（1）（）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）
19、由题意知：每件产品的销售价格为，即可表示出利润关于促销费用的函数关系式.（2）由（1）中的函数关系式，利用基本不等式求最值，即可得出2017年促销费用多少时，利润最大.试题解析：当时，当时， 有最大值；当时，易证关于为增函数，所以时， 有最大值；答：当时，该服装厂2017年的促销费用投入万元时，利润最大；当时，该服装厂2017年的促销费用投入万元时，利润最大.5运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100（单位：千米/时）假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费
20、用最低，并求出最低费用的值【答案】(1) ，x50，100;(2) 详见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，总费用包含汽油价格和司机工资，所以可以写出表达式，x50，100；（2）为对勾函数，则当且仅当，等号成立，解得。试题解析：（1）设所用时间为，则，x50，100所以这次行车总费用y关于x的表达式是，x50，100（或，x50，100（2），当且仅当，即时，等号成立故当千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元6已知关于x不等式x22mx+m+20， f(m)= 即f(m)= 当且仅当，即时取等号. 所以（3）令f（x）=x22ax+a+2=（xa）2a2+a+2，当M不为空集时，
21、由M1，4，得综上，实数a的取值范围为7若函数f(x)tx2(22t60)x144t(x0)(1)要使f(x)0恒成立，求t的最小值；(2)令f(x)0，求使t20成立的x的取值范围【答案】（1）30；（2）(9，16).【解析】试题分析：（1）)因为x222x1440，所以要使不等式f(x)0恒成立，即tx2(22t60)x144t0(x0)恒成立，等价于t (x0)恒成立，求函数最值即可；（2）由f(x)0，得t=，即可解20即可.试题解析：(1)因为x222x1440，所以要使不等式f(x)0恒成立，即tx2(22t60)x144t0(x0)恒成立，等价于t (x0)恒成立，由30(x0
22、)，当且仅当x，即x12时，等号成立，所以当t30时，不等式tx2(22t60)x144t0恒成立，t的最小值为30.(2)由t20，得20，整理得x225x1440，即(x16)(x9)0，解得9x16，所以使t20成立的x的取值范围为(9，16).6.函数与不等式例6. 若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B练习1已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+f（）=503（a+b），则a2+b2的最小值为（ ）A. 6 B. 8 C. 9 D. 12【答案】B【解析】由题意可得，所以f（）+f（）+f（）=2012=503（a+b），所以，由均值
23、不等式，得，等号成立条件为.选B.2若函数，若对任意不同的实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【方法总结】本题主要考查函数的最大值和最小值，考查对于新概念或定义的理解.解题的突破口在于“对任意不同的实数、，不等式恒成立”既然是恒成立，也就是左边相加要比右面的最大值还要大，合起来就是要最小值的两倍，比最大值还要大.根据这个分析利用分类讨论，结合基本不等式来求.3.已知函数，则的最小值为_【答案】3【解析】，故，当且仅当，即时等号成立的最小值为3.答案： 4已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为_【答案】9【解析】的导数为，由切线的方程得切线的斜率为，可得，所以切点的横坐标为，切
24、点为，代入，得为正实数，则，当且仅当时，等号成立， 的最小值为，故答案为.【易错点防范】本题主要考查导数的几何意义以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.5.设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是_【答案】【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立， ，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增
25、函数，由得，此时函数为减函数，即当时， 取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.6.已知函数.()求函数的单调区间；()若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）f(x)在(， )上单调递减，在(， )上单调递增，在(，)上单调递减；（2）实数m的取值范围为1，). ()令， ，由已知可得，即，下面只要考虑的情况即可g(x)(2x2)ex1m，令h(x)(2x2)ex1m，则h(x)(x22x2)ex1，因为x1，所以x22x20，所以h(x)0，即1m0，g(2)2em0，所以存在x0(1，2)，使得g(x0)0，则当1x0；当xx0时，g(x)1时，
26、 .【答案】（1）；（2）见解析试题解析：（1）依题意知函数的定义域为，因为，故，所以函数的单调增区间为.（2）证明：设 g(x)2x2x，当x1时，g(x)0，g(x)在(1，)上为增函数，g(x) g(1)0，当x1时， x2ln xx3.9已知函数， ，且曲线在处的切线方程为.（1）求， 的值；（2）求函数在上的最小值；（3）证明：当时， .【答案】(1) (2) （3）见解析【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，计算， ，求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在0，1递增，从而求出f（x）的最大值；（3）只需证明x0时， ，因为，且曲线在处
27、的切线方程为，故可猜测：当且时， 的图象恒在切线的上方试题解析：（1）由题设得， 解得， （2）由（1）知， ，令函数，当时， ， 递减；当时， ， 递增；，即当时， ，且仅当时，故在上单调递增，；（3）由题要证：当时， ，即证： ，因为，且曲线在处的切线方程为，故可猜测：当且时， 的图象恒在切线的上方下面证明：当时， ，证明：设， ，则，令， ，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增，又， ， ， 所以，存在，使得，当时， ；当， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又，当且仅当时取等号故由（2）知， ，故，当且仅当时取等号所以， 即所以， ，即成立，当时等号成立.故：当时， ，
28、12分方法二：要证，等价于，又，可转化为证明令，因此当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减；有最大值，即恒成立，即当时， 10已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求， 的值；（2）当时， 恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) , ;(2) 实数的取值范围是.试题解析：（1）函的定义域为，把代入方程中，得，即，又因为，故.（2）由（1）可知，当时，恒成立等价于. 设，则，由于，当时， ，则在上单调递增，恒成立. 当时，设,则.则为上单调递增函数，又由.即在上存在，使得，当时， 单调递减，当时， 单调递增；则，不合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 【方法点睛】本题主要考查利用
29、导数几何意义及利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题. 利用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.11已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在和上是增函数，在上是减函数；（2）.【解析】试题分析：求出函数的定义域和导数，列表即可求出函数单调性(2)要求函数不等式恒成立转化为求出，由单调性可得最值解析：（1）函数的定义域为， ，当变化时， ， 变化情况如下表：+-+增函数极大值减函数极小值增
30、函数综上所述： 在和上是增函数，在上是减函数.（2）函数在上恒成立，.【方法总结】本题的考点是利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值。在求解含有参量的最值问题时，分离参量，然后利用导数求出函数的最值即可解答恒成立问题，本题较为基础是一道中档题。12已知函数.（）（）讨论函数的单调性；（）若函数在x=2处的切线斜率为，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）求得函数定义域，对函数求导，对分类讨论函数的单调区间.（2）先利用函数在处切线的斜率为求得，然后对原不等式分离常数，得到，将不等式右边构造函数，利用导数求得函数的最小值，由此求得的取值范围.【试题解析】 （）求导数： ，解得a=1 所以，即，由于，即. 令，则当时， ；当时， 在上单调递减，在上单调递增； 故，所以实数的取值范围为 【方法总结】本小题主要考查函数导数与单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法.在求函数导数前，要对函数求其定义域，务必在定义域的范围内研究函数的单调区间.求导后要通分和因式分解.如果含有参数，要对参数进行分类讨论.
