1、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识梳理】1平面向量数量积的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.3三个重要公式(1)向量模的公式：设a(x1，y1)，则|a|.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| .(3)向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos .【常考题型】题型一、平面向量数量积的坐标运算【例1】(1)在平面直角坐标系xOy中，已知(
2、1，t)，(2,2)，若ABO90，则实数t的值为_(2)已知向量a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)，求：2a(ba)；(a2b)c.(1)解析(3,2t)，由题意知0，所以232(2t)0，t5.答案5(2)解法一：2a2(1,3)(2,6)，ba(2,5)(1,3)(1,2)，2a(ba)(2,6)(1,2)216214.a2b(1,3)2(2,5)(1,3)(4,10)(5,13)，(a2b)c(5,13)(2,1)5213123.法二：2a(ba)2ab2a22(1235)2(19)14.(a2b)cac2bc12312(2251)23.【类题通法】数量积运算的途径及注意点(1)
3、进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解【对点训练】已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(bc)a.解：(1)因为a与b同向，又b(1,2)，所以ab(，2)又ab10，所以12210，解得20.因为2符合a与b同向的条件，所以a(2,4)(2)因为bc122(1)0，所以(bc)a0a0.题型二、向量的模的问题【例2
4、】(1)若向量a(2x1,3x)，b(1x，2x1)，则|ab|的最小值为_(2)若向量a的始点为A(2,4)，终点为B(2,1)，求：向量a的模；与a平行的单位向量的坐标；与a垂直的单位向量的坐标(1)解析a(2x1,3x)，b(1x,2x1)，ab(2x1,3x)(1x,2x1)(3x2，43x)，|ab|，当x1时，|ab|取最小值为.答案(2)解a(2,1)(2,4)(4，3)，|a|5.与a平行的单位向量是(4，3)，即坐标为或.设与a垂直的单位向量为e(m，n)，则ae4m3n0，.又|e|1，m2n21.解得或e或.【类题通法】求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用
5、|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.【对点训练】设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A.B.C2 D10解析：选B由ab，可得ab0，即x20，得x2，所以ab(3，1)，故|ab|.题型三、向量的夹角和垂直问题【例3】已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小解(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,1
6、2)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设m、n的夹角为，则cos .0，即m，n的夹角为.【类题通法】解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积ab以及|a|b|，再由cos 求出cos ，也可由坐标表示cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.(2)由于0，利用cos 来判断角时，要注意cos 0也有两种情况：一是为锐角，二是0.【对点训练】已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值解：若ABC为直角三角形，且A为直角，则，由已知(3,1)，(2m,
7、1m)，3(2m)(1m)0，解得m.【练习反馈】1已知向量a(1，1)，b(2，x)若ab1，则x()A1BC. D1解析：选Dab(1，1)(2，x)2x1x1.2已知向量(1,2)，(3，m)，若，则m的值是()A. BC4 D4解析：选C(1,2)，(3，m)，(4，m2)，又，142(m2)82m0，解得m4.3设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于_解析：ab，则2(2)1y0，解得y4，从而3ab(1,2)，|3ab|.答案：4已知a(1，)，b(1，1)，则a与b的夹角为_解析：由a(1，)，b(1，1)，得ab1(1)4，|a|2，|b|2.设a与b的夹角为，则cos ，又0，所以.答案：5以原点O和点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使B90，求点B和向量的坐标解：设点B坐标为(x，y)，则(x，y)，(x5，y2)，x(x5)y(y2)0，即x2y25x2y0.又|，x2y2(x5)2(y2)2，即10x4y29.由解得或点B的坐标为或，或.
