1、2014-2015学年四川省成都七中实验学校高一（下）3月月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1下列各式中，值为的是（）A 2sin15cos15B cos215sin215C 2sin2151D sin215+cos2152若tan=3，则tan（）等于（）A 3B C 3D 3函数y=2cos2（x）1是（）A 最小正周期为的奇函数B 最小正周期为的偶函数C 最小正周期为的奇函数D 最小正周期为的偶函数4sin163sin223+sin253sin313等于（）A B C D 5将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个
2、单位，所得图象的函数解析式是（）A y=cos2xB y=2cos2xC D y=2sin2x=6在ABC中，A=60，a=，b=3，则ABC解的情况（）A 无解B 有一解C 有两解D 不能确定7在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A 30B 60C 120D 1508函数f（x）=2x+x32在区间（0，1）内的零点个数是（）A 0B 1C 2D 39在ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（）A B C D 10有以下命题：对任意的R都有sin3=3sin4sin3成立；对任意的ABC都有等式a=bcosA+ccosB
3、成立；满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；若A，B是钝角ABC的二锐角，则sinA+sinBcosA+cosB其中正确的命题的个数是（）A 4B 3C 2D 1二、填空题：（每小题5分，共25分）11如果定义在区间3+a，5上的函数f（x）为奇函数，那么a的值为12函数f（x）=2x2mx+3，当x2，+）时是增函数，当x（，2时是减函数，则f（1）等于13在ABC中，若A=60，边AB=2，SABC=，则BC边的长为14在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（bc）cosA=acosC，则cosA=15在ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的
4、对应边，则若ab，则f（x）=（sinAsinB）x在R上是增函数；若a2b2=（acosB+bcosA）2，则ABC是Rt；cosC+sinC的最小值为；若cos2A=cos2B，则A=B；若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中错误命题的序号是三、解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16分别根据下列条件解三角形：（1）a=，B=45（2）a=2，b=2，C=1517已知函数y=4cos2x4sinxcosx1（xR）（1）求出函数的最小正周期；（2）求出函数的最大值及其相对应的x值；（3）求出函数的单调增区间
5、；（4）求出函数的对称轴18已知cos=，且0，（1）求tan2的值； （2）求cos19如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东60，B点北偏西45的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西75且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对应的边，向量，（I）求角B；（）求sinA+sinC的取值范围21已知非零函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）f（x2） 当x0时，f（x）1（1）判断f（x）的
6、单调性并予以证明；（2）若f（4cos2）f（4sincos）=1，求的值；（3）是否存在这样的实数m，当0，时，使不等式fcos2（2+m）sinf（3+2m）1对所有的恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由2014-2015学年四川省成都七中实验学校高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1下列各式中，值为的是（）A 2sin15cos15B cos215sin215C 2sin2151D sin215+cos215考点：三角函数中的恒等变换应用分析：这是选择题特殊的考法，要我们代入四个选项进
7、行检验，把结果是要求数值的选出来，在计算时，有三个要用二倍角公式，只有最后一个应用同角的三角函数关系解答：解：故选B点评：能将 要求的值化为一个角的一个三角函数式，培养学生逆向思维的意识和习惯；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力2若tan=3，则tan（）等于（）A 3B C 3D 考点：两角和与差的正切函数分析：根据两角和与差的正切公式，代入即可得到答案解答：解：tan=3，故选D点评：本题主要考查两角和与差的正切公式属基础题3函数y=2cos2（x）1是（）A 最小正周期为的奇函数B 最小正周期为的偶函数C 最小正周期为的奇函数D 最小正周期为的偶函数考点：三角函数的周期性及其
8、求法；函数奇偶性的判断专题：三角函数的图像与性质分析：利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性解答：解：由y=2cos2（x）1=cos（2x）=sin2x，T=，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x）1是奇函数故选A点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题4sin163sin223+sin253sin313等于（）A B C D 考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值分析：通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果解答：解：原式=sin163sin223+cos163cos223=cos（163223）=cos（60）
9、=故答案选B点评：本题主要考查了正弦函数的两角和与差要熟练掌握三角函数中的两角和公式5将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A y=cos2xB y=2cos2xC D y=2sin2x=考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案解答：解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=
10、2cos2x，故选：B点评：本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题6在ABC中，A=60，a=，b=3，则ABC解的情况（）A 无解B 有一解C 有两解D 不能确定考点：正弦定理专题：计算题；解三角形分析：由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，求解即可解答：解：由正弦定理得：即，解得sinB=，因为，sinB1，1，故角B无解即此三角形解的情况是无解故选A点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题7在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A
11、 30B 60C 120D 150考点：余弦定理的应用专题：综合题分析：先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A解答：解：sinC=2sinB，c=2b，a2b2=bc，cosA=A是三角形的内角A=30故选A点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题8函数f（x）=2x+x32在区间（0，1）内的零点个数是（）A 0B 1C 2D 3考点：函数的零点与方程根的关系专题：函数的性质及应用分析：根据函数f（x）=2x+x32在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点解答：解：由于函数f（x）=2x+
12、x32在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=10，f（1）=10，所以f（0）f（1）0，故函数f（x）=2x+x32在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题9在ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（）A B C D 考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：由B为三角形的内角，以及cosB的值大于0，可得出B为锐角，由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB的值大于sinA的值，利用正弦定理得到b大于a，根据大角对大边可得B大于A，由B为锐角可得出A为锐角，再
13、sinA，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，最后利用诱导公式得到cosC=cos（A+B），再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值解答：解：B为三角形的内角，cosB=0，B为锐角，sinB=，又sinA=，sinBsinA，可得A为锐角，cosA=，则cosC=cos（A+B）=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=+=故选A点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键10有以下命题：对任意的R都有sin3=3sin4sin3成立；对任意的ABC都有等式a=bc
14、osA+ccosB成立；满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；若A，B是钝角ABC的二锐角，则sinA+sinBcosA+cosB其中正确的命题的个数是（）A 4B 3C 2D 1考点：命题的真假判断与应用专题：三角函数的求值分析：通过sin3=sin（+2）、利用二倍角公式及平方关系化简可知正确；利用正弦定理化简可知正确；假设存在正整数k、k+1、k1分别为三角形ABC的三边长，且其对应的角分别为A、B、C，利用三角形内角和可知36C45，利用正弦定理化简可知cosC=+，进而求出不等式+的正整数解并检验即得结论；通过A、B是钝角ABC的二锐角可知0B90A9
15、0，进而sinBsin（90A）=cosB，同理cosAcos（90B）=sinA，整理即得结论解答：解：对任意的R都有sin3=sin（+2）=sincos2+cossin2=sin（cos2sin2）+2sincos2=sin（12sin2）+2sin（1sin2）=3sin4sin3，故正确；对任意的ABC都有=2R，a=2RsinA=2Rsin（B+C）=2RsinBcosC+2RsinCcosB=bcosC+ccosB，故正确；假设存在正整数k、k+1、k1分别为三角形ABC的三边长，且其对应的角分别为A、B、C，=2R，B=2C，sinB=sin2C=2sinCcosC，=，即co
16、sC=+，又CAB，即CA2C，36C45，cosC，即+，+1k12，+2k3，k=4或k=5，经检验可知当k=5时不满足题意，故正确；A，B是钝角ABC的二锐角，A+B90，0B90A90，sinBsin（90A）=cosB，同理cosAcos（90B）=sinA，sinA+sinBcosA+cosB，故正确；故选：A点评：本题考查命题的真假判断与应用，注意解题方法的积累，属于中档题二、填空题：（每小题5分，共25分）11如果定义在区间3+a，5上的函数f（x）为奇函数，那么a的值为8考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：根据奇函数的定义域关于原点对称的性质进行求解即可解答：解
17、：函数f（x）是奇函数，定义域关于原点对称，则3+a+5=0，解得a=8，故答案为：8点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义域的对称性是解决本题的关键12函数f（x）=2x2mx+3，当x2，+）时是增函数，当x（，2时是减函数，则f（1）等于13考点：二次函数的性质专题：计算题分析：根据二次函数的图象与性质，得出x=2是抛物线f（x）=2x2mx+3的对称轴，确定出m的值后，再求f（1）即可解答：解：由题意可知，x=2是f（x）=2x2mx+3的对称轴，即=2，m=8f（x）=2x2+8x+3f（1）=13故答案为：13点评：本题考查二次函数求函数值，利用二次函数的单调性，确定出m的值
18、是本题的关键13在ABC中，若A=60，边AB=2，SABC=，则BC边的长为考点：余弦定理；三角形的面积公式专题：解三角形分析：由AB，sinA及已知的面积，利用三角形面积公式求出AC的长，再由AB，AC及cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的长解答：解：A=60，边AB=2，SABC=，SABC=ABACsinA，即=2AC，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+12=3，则BC=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键14在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（bc）
19、cosA=acosC，则cosA=考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数专题：计算题分析：先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值解答：解：由正弦定理，知由（bc）cosA=acosC可得（sinBsinC）cosA=sinAcosC，sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，cosA=故答案为：点评：本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力15在ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则若ab，则f
20、（x）=（sinAsinB）x在R上是增函数；若a2b2=（acosB+bcosA）2，则ABC是Rt；cosC+sinC的最小值为；若cos2A=cos2B，则A=B；若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中错误命题的序号是考点：命题的真假判断与应用专题：计算题分析：由正弦定理，可知命题正确；由余弦定理可得acosB+bcosA=c，可得a2=b2+c2；由三角函数的公式可得，由的范围可得（1，；由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=22B，A=B，A+B=（舍）；展开变形可得，即tan（A+B）=1，进而可得解答：解：由正弦定理，ab等价于sinAsinB，sinAsinB0
21、，f（x）=（sinAsinB）x在R上是增函数，故正确；由余弦定理可得acosB+bcosA=c，故可得a2b2=c2，即a2=b2+c2，故ABC是Rt，故正确；由三角函数的公式可得，0c，c，（，1，（1，故取不到最小值为，故错误；由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=22B，A=B，A+B=（舍），A=B，故正确；展开可得1+tanA+tanB+tanAtanB=2，1tanAtanB=tanA+tanB，即tan（A+B）=1，故错误；错误命题是故答案为点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及三角函数的知识，属基础题三、解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分
22、，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16分别根据下列条件解三角形：（1）a=，B=45（2）a=2，b=2，C=15考点：解三角形专题：解三角形分析：（1）由已知结合正弦定理求得A，然后分类求得C与c；（2）首先由余弦定理求得c，再由余弦定理的推论求得A，由三角形内角和定理求得B解答：解：（1）在ABC中，a=，B=45，由正弦定理得：，即sinA=0A180，A=60或A=120当A=60时，C=1806045=75，=；当A=120时，C=18012045=15，=（2）在ABC中，a=2，b=2，C=15，=，0A180，A=30则B=180AC=1803015=135点
23、评：本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属中档题17已知函数y=4cos2x4sinxcosx1（xR）（1）求出函数的最小正周期；（2）求出函数的最大值及其相对应的x值；（3）求出函数的单调增区间；（4）求出函数的对称轴考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：利用二倍角的正弦、余弦公式，以及两角差的正弦公式，化简函数解析式化为y=，（1）根据最小正周期公式T=求解；（2）根据解析式知：当时，函数取最大值，求出原函数的最大值和对应的x的值；（3）根据解析式知：原函数的单调增区间为正弦函数单调减区间，即
24、（kZ），求解即可；（4）根据正弦函数得对称轴得（kZ），求解即可解答：解：y=4cos2x4sinxcosx1=42sin2x=2cos2x2sin2x+2=（1）函数的最小正周期T=；（2）当时，函数取最大值为：6，此时（kZ），解得（kZ）；（3）由（kZ）得，（kZ），函数的单调增区间是（kZ）；（4）由（kZ）得，（kZ），函数的对称轴方程是（kZ）点评：本题考查正弦函数的性质和三角恒等变换，涉及的公式有：二倍角的正弦、余弦公式，以及两角和与差的正弦公式，其中灵活利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解本题的关键，注意化简解析式是一定要把化为正的18已知cos=，且
25、0，（1）求tan2的值； （2）求cos考点：两角和与差的余弦函数专题：三角函数的求值分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin和tan的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos=cos（）的值解答：解：（1）cos=，且0，sin=，tan=，tan2=（2）cos （）=，0，sin（）=，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=+=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式、两角差的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题19如图，A
26、，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东60，B点北偏西45的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西75且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？考点：正弦定理；根据实际问题选择函数类型专题：解三角形分析：在三角形ABD中，由AB，ADB，以及DAB的度数，利用正弦定理求出BD的长，连接CD，在三角形BCD中，由BC，BD，及CBD的度数，利用余弦定理求出CD的长，即为该救援船到达D点的路程，利用时间=路程速度，即可求出该救援船到达D点需要的时间解答：解：在ABD中，AB=5（3+）海里，ADB=6
27、0+45=105，由正弦定理：=，即=，2BD=，即BD=5，连接CD，在CBD中，BC=15，BD=5，CBD=15+45=60，由余弦定理：CD2=BC2+BD22BCBDcos60=（15）2+（5）22155cos60=1350+150450=1050，CD=5（海里），t=（小时）答：该救援船到达D点需要的时间为小时点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键20在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对应的边，向量，（I）求角B；（）求sinA+sinC的取值范围考点：余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；
28、正弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：（I）根据两个向量的坐标，写出两个向量的共线的表示式，整理出能够应用余弦定理的形式，得到角的正弦值，求出角（II）根据上一问的结果，写出A，C之间的关系式，把要求的两个角的正弦值的和，写成一个角的形式，利用辅角公式化成能够求函数值的形式，得到结果解答：解：（I），又，（II）由（I）知，=又，sinA+sinC点评：本题考查三角函数的恒等变形，本题解题的关键是利用向量之间的关系写出三角函数之间的关系，注意余弦定理的应用21已知非零函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）f（x2） 当x0时，f（x）1（1）判断f（x
29、）的单调性并予以证明；（2）若f（4cos2）f（4sincos）=1，求的值；（3）是否存在这样的实数m，当0，时，使不等式fcos2（2+m）sinf（3+2m）1对所有的恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由考点：抽象函数及其应用专题：函数的性质及应用分析：（1）设x1，x2R，且x1x2，结合当当x0时，f（x）1，可得f（x1）f（x2），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性（2）由（1）得f（0）=1，将方程进行转化解三角方程即可（3）先结合存在性问题的特点先假设存在m符合题意，然后将问题转化为恒成立的问题结合二次函数的特点即可获得问题的解答解答：
30、解：（1）函数f（x）在R上是单调递增函数证明：令x1=0，x2=2，则f（x2）1，f（0+2）=f（0）f（2）=f（2），则f（0）=1当x0时，f（x）1当x0，则x0，得f（xx）=f（x）f（x）=f（0）=1，得，故对于任意xR，都有f（x）0，设x1，x2R，且x1x2，则x1x20，f（x1x2）1，f（x1）=f（x1x2）+x2=f（x1x2）f（x2）f（x2），函数f（x）在R上是单调递增函数（2）由（1）知f（0）=1，则f（4cos2）f（4sincos）=1，等价为f（4cos2+4sincos）=f（0），函数f（x）在R上是单调递增函数，4cos2+4sin
31、cos=0，即（cos+sin）cos=0，即cos+sin=0或cos=0，即cos=0或tan=1，即=k+或=k，kZ（3）假设存在实数m，当0，时，使不等式fcos2（2+m）sinf（3+2m）1对所有的恒成立，即fcos2（2+m）sin+3+2mf（0）恒成立，函数f（x）在R上是单调递增函数，cos2（2+m）sin+3+2m0令t=sin，则t0，1，则不等式等价为t2（2+m）t+4+2m0在0，1上恒成立令g（t）=t2（2+m）t+4+2m，则有，即，则，解得m1点评：本题考查的是函数的单调性证明问题抽象函数的单调性的判定，以及赋值法的应用，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、转化法以及赋值法等知识考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大