1、题组层级快练(五十六)(第一次作业)1(2015合肥一检)已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A60B45C30 D90答案B解析连接A1D，DC1，A1C1，E，F为A1D，A1C1中点，EFC1D.EF和CD所成角即为C1DC45.2(2015济宁模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin，的值等于()A. B.C. D.答案B解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令AD1，(1,1,1)，(1，0)cos，.sin，.3.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A
2、BC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45 B60C90 D120答案B解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)(0，1,1)，(2,0,2)2，记，所成角为.cos.EF和BC1所成角为60.4(2015沧州七校联考)已知正三棱柱ABCA1B1C1所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案D解析取AC中点E，令AB2，分别以EB，EC，ED为x，y，z轴建立空间直角坐标系
3、B1(，0,2)，C(0,1,0)，A(0，1,0)，D(0,0,2)，(，0,0)，(0,1，2)，(0，1，2)，平面B1DC法向量为n(0,2,1)，cos，n.AD与面B1DC所成的角正弦值为.5已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案C解析连接A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1OB1D1，且平面BDD1B1平面A1B1C1D1，所以C1O平面BDD1B1.连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，C1BO即为所求，OC1A1C1AC2，BC12.计算得sinC1BO.6过正
4、方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A30 B45C60 D90答案B解析以A点为坐标原点，AP，AB，AD分别为x，y，z轴建系且设AB1，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)设面CDP的法向量为n(x，y，z)令y1，n(0,1,1)又为面ABP的一个法向量，cosn，.二面角为45.7若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是()A. B.C. D.答案B解析以正三棱锥OABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C
5、(0,0,1)侧面OAB的法向量为(0,0,1)，底面ABC的法向量为n(，)cos，n.8如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A. B.C. D.答案D解析方法一：由VB1ABFVFABB1可得解方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)设F(0,0，)，E(，1,1)，B(1,1,1)，(0,1,0)(，0,1)，(1,0，)(1,0，)(，0,1)0，.又，平面ABF.平面ABF的法向量为(，0,1)，(0,1，1)B1到平面ABF的距离为.9.如图所示，PD垂直于正方形AB
6、CD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为_答案(1,1,1)解析连接AC，BD交于O，连接OE，cos，cosAEO.又OA，OE1，E为(1,1,1)10如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.因为EBEA，所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，
7、所以ABOD.所以AB平面EOD.因为ED平面EOD，所以ABED.(2)方法一：因为平面ABE平面ABCD，且ABBC，所以BC平面ABE.则CEB即为直线EC与平面ABE所成的角设BCa，则AB2a，BEa，所以CEa.则在直角三角形CBE中，sinCEB，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.方法二：因为平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OAOBODOE.设OB1，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，
8、E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一个法向量为(0,1,0)设直线EC与平面ABE所成的角为，所以sin|cos，|.即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.11(2015河南内黄一中摸底)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC.(1)求证：ACBB1；(2)若ABACA1B2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角PABA1的平面角的余弦值为.答案(1)略(2)P为棱B1C1的中点时满足题意解析(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为A1B平面ABC，A1B平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面ABC.因为平面ABB1A1平面ABCAB，ABA
9、C，所以AC平面ABB1A1，所以ACBB1.(2)如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则C(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,2,2)，B1(0,4,2)，(2，2,0)设(2，2，0)，0,1，则P(2，42，2)设平面PAB的一个法向量为n1(x，y，z)，因为(2，42，2)，(0,2,0)，所以即所以令x1，得n1(1,0，)而平面ABA1的一个法向量是n2(1,0,0)，所以|cosn1，n2|，解得，即P为棱B1C1的中点12.(2014福建理)在平面四边形ABCD中ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示(1
10、)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图所示由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M，则(1,1,0)，(0,1，1)设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平
11、面MBC的一个法向量n(1，1,1)设直线AD与平面MBC所成角为，则sin|cosn，|，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.13(2014陕西理)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.由题设，BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG.
12、四边形EFGH是平行四边形又ADDC，ADBD，AD平面BDC.ADBC，EFFG.四边形EFGH是矩形(2)方法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，n0，n0.取n(1,1,0)sin|cos，n|.方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)E是AB的中点，F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1,0,0)，G(0,1,0)，(1,1,0).(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1,1,0)，sin|cos，n|.