1、2016届高三数学33个黄金考点总动员【考点剖析】1.最新考试说明：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系2.命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题；解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想考查3.课本结论总结：（1）两个向量的夹角定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a
2、与b的夹角范围：向量夹角的范围是0180,a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.向量垂直：如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.（2）平面向量数量积已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角规定0a0.向量的投影：|叫向量在向量方向上的投影当ab时，90，这时ab0.ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积（3）向量数量积的性质如果e是单位向量，则aeea.abab0.aa|a|2，.cos .(为a与b的夹角)|ab|a|b|.（4）数量积的运
3、算律交换律：abba.分配律：(ab)cacbc.对R，(ab)(a)ba(b)（5）数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：aba1b1a2b2.aba1b1a2b20.|a|.cos .(为a与b的夹角)4.名师二级结论：(1)向量 b在a的方向上的投影为|b|cos =.（2）若向量ab，且b=，则可设a=.5.课本经典习题：(1)新课标A版第108 页，习题2.4A组第3题已知|=2，|=5，=-3，求|+|,|-|.【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题.(2) 新课标A版第108 页，习题2.4A组第7题已知|=4，|=3，(2-3)(2+)=61，求
4、与的夹角.【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题.6.考点交汇展示：(1)与平面几何交汇【2015届北京重点中学8月开学测试13】已知菱形的边长为，点分别在边上，. 若，则的值为 .【答案】.【解析】由题意得：，又，又菱形的边长为，. (2)与不等式交汇1.【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A BC D【答案】B【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即，2.【2015届湖北部分重点中学
5、高三起点考试9】已知向量 ，满足=1，与的夹角为，若对一切实数 x ,恒成立，则的取值范围是( ).A. B. C. D.【答案】C.【解析】对式子两边平方得，又与的夹角为，且=1，则有，所以有，此式对一切实数 x恒成立，所以有，即有：，取.（3）与函数交汇【2014届湖南十三校联考第二次考试】已知的三内角分别为,向量,记函数.（1）若,求的面积；（2）若关于的方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围【答案】（1）；（2） （2）由（1）知,令,则方程有两个不同的实数解等价于在上有两上不同实根,作出草图如右,可知当或时,直线与曲线有两个交点,符合题意,故实数的取值范围为. 12分Oxy【考点分
6、类】热点1 平面向量数量积及其几何意义1.【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ， ,则（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】因为 故选D.【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.2. 【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，.若点M，N满足，则（ ）（A）20 （B）15 （C）9 （D）6【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这
7、两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于，故可选作为基底.3. 【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向量的差，这是一个易错点，两个向量的和（点是的中点）.另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.4.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（
8、 ）A13 B15 C19 D21【答案】A【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以，【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题，本题容易出错的地方是对的理解不到位，从而导致解题失败【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos求解；已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；用平面向量数量积的几何意义计算.2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用
9、数量积的运算律化简，再进行运算 【解题技巧】1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2. 计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用|计算;思路2，利用计算.3. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】1.向量的数量积不满足消去率和结合律.2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.3.若ab=0,则a=0或b=0或ab,与实数乘积不同.例 已知
10、平面向量a,b,c，下列说法中：若ab=ac,则a=c； a(bc)=(ab)c;若ab=0,则a=0或b=0; ab|a|b|，正确的序号为 .【错解】【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性质.【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质.【正解】因平面向量的数量积不满足消去率和结合律，故，因若ab=0,则a=0或b=0或ab，故错，根据平面向量的数量积的性质知正确，故正确的说法序号为热点2 平面向量垂直、平面向量夹角1. 【2015高考重庆，理6】若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的
11、夹角为（）A、 B、 C、 D、【答案】A【考点定位】向量的夹角.【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.2.【2015高考湖北，理11】已知向量，则 .【答案】9【解析】因为，所以.【考点定位】 平面向量的加法法则，向量垂直，向量的模与数量积.【名师点睛】平面向量是新教材新增内容，而且由于向量的双重“身份”是研究一些数学问题的工具.这类问题难度不大，以考查基础知识为主.3.【2014湖北，理11】设向量，若，则实数 .【答案】4.【2014四川，理7】平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，
12、则（ ）A B C D【答案】 D.【解析】由题意得：，选D.【方法规律】1.对平面向量夹角问题(1)当，是非坐标形式时，需要先求出及|、|或它们的关系.(2)若已知向量，的坐标，直接利用公式求解.2. 利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决.【解题技巧】1.非零向量垂直a,b的充要条件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.2abab0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题【易错点睛】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.若两个向量夹角为锐角，则0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则小于0，反之，不一定3. 两向量
13、的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角4.abab0是对非零向量而言的，若a0时，ab0，但不能说ab.例 已知向量，且向量与夹角为锐角，求的范围；【错解】因为向量与夹角为锐角，所以=+20，解得-2.【错因分析】从出发解出的值，忽视剔除同向的情况【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏.【正解】因为向量与夹角为锐角，所以=+20，解得-2.当=时，与同向，故的范围为.热点3 平面向量模1. 【2015高考湖南，理8】已知点，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）A
14、.6 B.7 C.8 D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆上的动点到点距离的最大值.2.【2014湖南，理16】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，则的最大值是_.【答案】3. 【2015高考浙江，理15】已知是空间单位向量，若空间向量满足，且对于任意，则 ， ， 【答案】，.【解析】问题等价于当且仅当，时取到最小值1，两边平方即在，时，取到最小值1
15、，.【考点定位】1.平面向量的模长；2.函数的最值【名师点睛】本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题，分析题意可得问题等价于当且仅当，时取到最小值1，这是解决此题的关键突破口，也是最小值的本质，两边平方后转化为一个关于，的二元二次函数的最值求解，此类函数最值的求解对考生来说相对陌生，此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利用配方的方法求解，关于二元二次函数求最值的问题，在14年杭州二模的试题出现过类似的问题，在复习时应予以关注.4.【2014安徽，理10】在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则( )A. B. C. D.【答案】A【方法
16、规律】对平面向量的模问题，若向量是非坐标形式，用求模长；若给出向量的坐标，则用|=来求解.【解题技巧】1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式转化为平面向量的数量积，利用平面向量的运算法则计算.2对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决.【易错点睛】在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：ab|a|b|和|ab|a|b|.例 已知|=1，|=2，向量与夹角为120o,求|.【错解】|=5.【错因分析】错用ab|a|b|,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢.【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式
17、和平面向量的数量积的知识计算向量的模, 避免出现如下错误：ab|a|b|和|ab|a|b|.【正解】|=.【热点预测】1.【2015届北京重点中学8月开学测试5】已知向量的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D.【答案】D.2.【2015届河北“五个一名校联盟”质量监测（一）6】是两个向量，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由知，=0，所以=-1，所以=，所以与的夹角为，故选C.3.【2015届河北唐山摸底考试7】设向量a，b满足|a|b|ab|1，则|atb|(tR)的最小值为 A.B.C.1D.2【答案】A【解析】由于|a|b|ab|1，于是|ab|21，即
18、a22abb21，即ab|atb|2a22tabt2b2(1t2)2tabt2t1，故|atb|的最小值为.选A.4.【2015届湖北武汉9月调研测试4】已知向量，的夹角为45，且，则（ ）A B C D【答案】C.【解析】，即，解得.5.【2015届河南顶级名校高三入学定位考】若向量，则的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】A6. 是两个非零向量，且，则与的夹角为（ ）A300 B450 C600 D900【答案】A【解析】因为，所以，向量，围成一等边三角形，=600，平分，故与的夹角为300 ，选A.7.设向量与满足，在方向上的投影为，若存在实数，使得与垂直，则=（ ）A. B.1
19、 C. 2 D. 3【答案】C【解析】，又，即，联立：.8.如图，在中，是的中点，则（ ）A3 B4 C5 D不能确定【答案】B【解析】。故B正确。9. 【2015届广东广州第一次质量检测】已知向量与的夹角为120,且,若,且，则实数的值为（ ）A B C D【答案】B10. 【2015届湖南省益阳市箴言中学一模拟】已知向量的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】，即，解得.11.【2015届江苏省扬州中学8月开学考试7】设向量a，b的夹角为，a=（2，1），a+3b=（5，4），则sin= 【答案】.12.【2015届四川成都新都一中九月考】在锐角三角形中，则【答案】2【解析】由=1，可得，因为ABC为锐角三角形，所以，向量与夹角的余弦值为-于是2-2.13.已知、为非零向量，若，当且仅当时，取得最小值，则向量、的夹角为_.【答案】【解析】设向量的夹角为，则，构造函数，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.14.已知向量，若，在非零向量上的投影相等，且，则向量的坐标为 .【答案】由联立得：，
