1、9.2.2向量的数乘学 习 目 标核 心 素 养1.掌握向量数乘的运算及其几何意义(重点)2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养；2.通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养.一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是3a吗？ 1向量的数乘定义一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|a|；(2)若a0，则当0
2、时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当a0时，a0；当0时，a0.实数与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘向量的数乘a的几何意义：当0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小，当0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小思考：a0，一定能得到0吗？提示：不一定a0，则0或a0.2向量数乘的运算律(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.3向量共线定理一般地，对于两个向量a(a0)，b，设a为非零向量，如果有一个实数，则ba，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.4向量的线性运算向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算1思考辨析(正确
3、的画“”，错误的画“”)(1)a0，则a0()(2)对于非零向量a，向量3a与向量3a方向相反()(3)对于非零向量a，向量6a的模是向量3a的模的2倍()答案(1)(2)(3)25(4a)_.20a5(4a)5(4)a20a.3ae12e2，b3e12e2，则ab_.4e1ab(e12e2)(3e12e2)4e1.4已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是_a2e1，b2e2；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.e1与e2不共线，不正确；对于有b2a；对于有a4b；不正确向量数乘的基本运算【例1】计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；
4、(2)；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)思路点拨利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并解(1)原式18a12b18a9b3b.(2)原式abababa0.(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解跟进训练1若向量a3i4j，b5i4j，则3(2ba)_.16ij原式ab3a2b2baab(3i4j)(5i4j)(115)ij16ij.向量的共线问题【例2】已
5、知非零向量e1，e2不共线. (1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值思路点拨对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数，使即可；对于(2)，若ke1e2与e1ke2共线，则一定存在实数，使ke1e2(e1ke2)解(1)证明：e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线(2)ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.1证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线
6、，向量共线定理是解决向量共线问题的依据2若A，B，C三点共线，则向量，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系而向量共线定理是实现线性关系的依据跟进训练2设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，求k的值解(2e1e2)(e13e2)e14e2.因为A，B，D三点共线，故存在实数，使得，即2e1ke2(e14e2)e14e2.由向量相等的条件，得解得k8，所以k8.向量共线的有关结论探究问题1已知O为平面ABC内任一点，若A，B，C三点共线，是否存在，R，使O，其中1?提示存在，因A，B，C三点共线，则存在R，使，(
7、)，(1).令1，则，且1.2已知O为平面ABC内任一点，若存在，R，使，1，那么A，B，C三点是否共线？提示共线，因为存在，R，使，且1，1，(1)，()，A，B，C三点共线【例3】如图所示，已知OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称点，D是把分成21的一个内分点，DC和OA交于E，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值思路点拨由已知得A为BC中点，D为OB的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决解(1)依题意，A是BC中点，2，即22ab，2abb2ab.(2)若，则a(2ab)(2)ab.与共线，存在实数k，使k，(2)abk，
8、解得.1用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想2若xy，则A、B、C三点共线的充要条件是xy1.跟进训练3(1)设O是ABC内部一点，且3，则AOB与AOC的面积之比为_(2)如图，在OADB中，设a，b，.试用a，b表示_.(1)13(2)ab(1)如图，由平行四边形法则，知，其中E为AC的中点所以23.所以，|.设点A到BD的距离为h，则SAOB|h，SAOC2SAOE|h.所以.(2)由题意知，在OADB中，()(
9、ab)ab.则babab，()(ab)ab，ababab.1本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用2掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算；(2)用已知向量表示未知向量；(3)共线向量定理及应用3本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，与共线；反之不一定成立4要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程5注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作ABCD，且a，b，则对角线所对应的向量ab，ab.(2)在AB
10、C中，若D为BC的中点，则()(3)在ABC中，若G为ABC的重心，则0.(4)若xy，则A、B、C三点共线的充要条件是xy1.1已知mR，下列说法正确的是()A若ma0，则必有a0B若m0，a0，则ma与a方向相同Cm0，a0，则|ma|m|a|D若m0，a0，则ma与a共线DA错若ma0，则m0或a0；B错m0时，ma与a同向，m0时，ma与a反向；C错|ma|m|a|，m0时，|ma|m|a|；m0时，|ma|m|a|.2ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，且a，b，则_(用a，b表示)(ba)(ba)3若5e，7e，且|，则四边形ABCD的形状是_等腰梯形5e，7e，与平行且方向相反，易知|.又|，四边形ABCD是等腰梯形4计算：(1)8(2abc)6(a2bc)2(2ac)；(2)(mn)(ab)(mn)(ab)解(1)原式16a8b8c6a12b6c4a2c(1664)a(812)b(862)c6a4b.(2)原式(mn)a(mn)b(mn)a(mn)b2(mn)b.
